Convergence

[owlpenguin]

1.ทำไม $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ จึง converge ทุก $s>1$ ครับ

2.ในกรณีที่ใช้ ratio test แล้วผลมันออกมาเป็น $1$ จะมีวิธีตรวจสอบอื่นๆอย่างไรว่าผลบวกจะ converge หรือ diverge ครับ?

ขอบคุณครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

1.ทำไม $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ จึง converge ทุก $s>1$ ครับ

2.ในกรณีที่ใช้ ratio test แล้วผลมันออกมาเป็น $1$ จะมีวิธีตรวจสอบอื่นๆอย่างไรว่าผลบวกจะ converge หรือ diverge ครับ?

ขอบคุณครับ

1. ตอบได้โดยอาศัย integral test ครับ
อนุกรมหน้าตาแบบนี้ ถูกเรียกว่า p-series ครับ แต่ถ้าต้องการค่าผลบวกลองดูรายละเอียดเกี่ยวกับ Riemann's Zeta function ครับ

2. ผลออกมาเป็น 1 ต้องใช้วิธีอื่นครับ บอกไม่ได้ด้วยว่าวิธีไหนขึ้นอยู่กับหน้าตาของอนุกรมครับ

[Anonymous314]

$\eqalign{
& \zeta (2) = {{\pi ^2 } \over 6} \cr
& \zeta (4) = {{\pi ^4 } \over {90}} \cr
& \zeta (6) = {{\pi ^6 } \over {945}} \cr
& \zeta (8) = {{\pi ^8 } \over {9450}} \cr
& \zeta (10) = {{\pi ^{10} } \over {93555}} \cr
& \zeta (12) = {{691\pi ^{12} } \over {638512875}} \cr
& \zeta (14) = {{2\pi ^{14} } \over {18243225}} \cr
& \zeta (16) = {{3617\pi ^{16} } \over {325641566250}} \cr
& \zeta (18) = {{43867\pi ^{18} } \over {38979295480125}} \cr
& \zeta (20) = {{174611\pi ^{20} } \over {1531329465290625}} \cr} $
Some Beautiful Riemann Zeta Function
ให้ $\zeta (x) = {1 \over {1^x }} + {1 \over {2^x }} + {1 \over {3^x }} + ...$
และ $x > 1$