รบกวนผู้รู้ช่วยแก้อินติเกรต 2 ข้อนี้ทีครับ

[Sira]

$1. \int\!\!\!\int\left(1+\frac{1}{cos x}\right)dx\,dy = ?$
$2. \int\!\!\!\int\left(1+\frac{1}{sin x}\right)dx\,dy = ?$

จนปัญญาจริงๆครับ ช่วยที

[คุณชายน้อย]

ไม่รู้ว่ามีเงื่อนไขอะไรเพิ่มหรือเปล่าครับ ส่วนใหญ่จะกำหนด Domain บริเวณ R มานะครับ แต่ถ้าไม่ได้กำหนดอะไรเลย อินทิกรัลแรกเมื่อเทียบกับ dx คงจะอินทิกรัลได้ แต่ติดค่า Const ที่เป็นตัวแปร g(y) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ y คำนวณต่อในอินทิกรัลตัวต่อไป dy จะไม่มีความหมายครับ เพราะไม่รู้ค่าของ g(y) เป็นฟังก์ชันอะไร <-- สรุปไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์?

[ลูกชิ้น]

1. $y(x + ln[sec x + tan x]) + c$
2. $y(x + ln[csc x - cot x]) + c$

เปลี่ยน 1/cos(x) เป็น sec(x) แล้ว Integrate ตามทฤษฎีบทธรรมดาก็หลุดแล้วนี่ครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

เปลี่ยน 1/cos(x) เป็น sec(x) แล้ว Integrate ตามทฤษฎีบทธรรมดาก็หลุดแล้วนี่ครับ

ใช่ครับแต่ดูโจทย์ดี ๆ เป็นฟังก์ชัน 2 ตัวแปรต้นคือ x,y ตามปกติเมื่ออินทิเกรตไปแล้ว 1 ครั้งจะเกิดค่าคงที่ C แต่นั่นมันเป็นอินทิกรัล 1 ชั้น เมื่อเป็นอินทิกรัล 2 ชั้น ต้องเป็น ค่าคงที่ของตัวแปรต้นที่ไม่ได้ใช้ นั่นคือ g(y) เมื่อ g เป็นฟังก์ชันของ y เพราะฉะนั้น
$$\int_{}^{}\,\left(\,\right. 1+\frac{1}{cos x}\left.\,\right) dx = x+ln|sec x+tan x|+g(y)$$
จึงได้ว่า
$$ \int\!\!\!\int\, \left(\,\right. 1+\frac{1}{cos x}\left.\,\right) dx\,dy = \int_{}^{}\, \left(\,\right. x+ln|sec x+tan x|+g(y)\left.\,\right) dy = y(x+ln|sec x+tan x|)+\int_{}^{}\, g(y) dy $$
ซึ่งติดค่าของการอินทิเกรต g(y) อยู่ ทำให้ไม่มีความหมายอะไรครับ?

[Sira]

ขอบคุณ คุณชายน้อย มากครับที่ช่วยไขข้องใจให้กระจ่าง