ช่วยเฉลยข้อนี้หน่อยครับ

[Spotanus]

ให้ \(x,y,z\geq 0\) ซึ่ง \(x+y+z=1\) จงแสดงว่า
\(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\geq 8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

[nooonuii]

กระจายทั้งสองข้างโดยข้างขวาให้สังเกตว่า $x+y=1-z$ จะได้อสมการสมมูลกับ $$7(xy+yz+zx)\leq 2 + 9xyz$$
ซึ่งเป็นข้อสอบ BMO ปีนึงครับผมจำปีไม่ได้แล้ว โจทย์ข้อนี้มีวิธีคิดเยอะมากๆครับ วิธีที่จะแสดงต่อไปนี้เป็นวิธีที่ผมชอบ ถ้้ายังไม่รู้จักอสมการต่อไปนี้ลองเปิดดูอสมการกึ่งสำเร็จรูปในกระทู้ปักหมุดของห้องนี้ดูนะครับ

พิจารณาอสมการ

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$

ใช้เงื่อนไขโจทย์ได้เป็น

$(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq xyz$

กระจายแล้วจัดรูปได้

$4(xy+yz+zx)\leq 1+9xyz$

จากอสมการ $3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2$ จะได้

$3(xy+yz+zx)\leq 1$

ดังนั้น $7(xy+yz+zx)\leq 2+9xyz$ ตามต้องการ

[Uranus Hunter]

จาก $x+y+z=1$ เพราะฉะนั้น
$1+x=(x+y)+(z+x)$
$1+y=(y+z)+(x+y)$
$1+z=(z+x)+(y+z)$
ให้ $a=x+y, b=y+z, c=z+x$
อสมการที่เราต้องการจะกลายเป็น
$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$
ซึ่งก็คือ AM-GM ธรรมดา