โจทย์ตรีโกณมิติครับ

[Coco]

จงหาค่าของ

1. sin1ฐsin3ฐsin5ฐ . . . sin89ฐ

2. sin1ฐsin2ฐsin3ฐ . . . sin89ฐ

[warut]

จากสูตร\[\sin\frac{\pi}{n} \sin\frac{2\pi}{n} \cdots \sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}\]เราจะได้ว่า\[(\sin1^\circ \sin2^\circ \sin3^\circ \dots \sin89^\circ)^2= \frac{180}{2^{179}}\]ดังนั้นคำตอบของข้อ 2 คือ\[\frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}\]ทำนองเดียวกัน\[(\sin2^\circ \sin4^\circ \sin6^\circ \dots \sin88^\circ)^2= \frac{90}{2^{89}}\]ดังนั้นเราจะได้คำตอบของข้อ 1 คือ\[\sin1^\circ \sin3^\circ \sin5^\circ \dots \sin89^\circ= \sqrt{\left(\frac{180}{2^{179}}\right) \left(\frac{2^{89}}{90}\right)} = \frac{\sqrt2}{2^{45}}\]

[Coco]

วิธีของคุณ Warut ง่ายดีจังเลยครับ ผมชอบวิธีของคุณ Warut มากเลยครับ

ตอนผมทำ ผมทำแบบนี้ครับ

1. sin1ฐsin3ฐsin5ฐ ... sin89ฐ = (sin1ฐsin2ฐsin3ฐ ... sin89ฐ )/(sin2ฐsin4ฐsin6ฐ ... sin88ฐ )
= (sin1ฐsin2ฐsin3ฐ ... sin89ฐ)/((2sin1ฐcos1ฐ)(2sin2ฐcos2ฐ...(2sin44ฐcos44ฐ))
= (sin1ฐsin2ฐsin3ฐ ... sin89ฐ)/((2sin1ฐsin89ฐ)(2sin2ฐsin88ฐ...(2sin44ฐsin46ฐ))
= sin45ฐ/(2⁴⁴)

ส่วนข้อ 2 ผมใช้เอกลักษณ์ sinqsin(60ฐ-q)(sin60ฐ+q) = (sin3q)/4 ทำไปหลาย ๆ รอบจนได้คำตอบครับ (เหนื่อยน่าดูเลยครับ)

[warut]

ดีครับ...แลกเปลี่ยนเทคนิคกัน ผมก็เพิ่งรู้ว่าข้อ 1 มีวิธีทำแบบง่ายๆจากคุณ Coco นี่แหละ

[polojui]

สูตร ผิด รึป่าวนะ เราจดไปแล้วมาอ่านดู งง มากๆๆๆ
แล้วได้บรรทัดนี้อย่างไง
(sin1∘sin2∘sin3∘...sin89∘)^2=180/2^179

[passer-by]

สูตรไม่ผิดหรอกครับ คุณ Polojui

ส่วนที่ถามว่า $ (\sin1^\circ \sin2^\circ \sin3^\circ \dots \sin89^\circ)^2= \frac{180}{2^{179}} $ มาไง

ก็มาจากแทน n ในสูตรด้วย 180 และใช้ความรู้ที่ว่า $\sin\theta= \sin(180^{\circ}-\theta)$ ครับ ดังนั้น จึงเห็นกำลังสองปรากฏในบรรทัดดังกล่าว

[polojui]

ขอบคุณค่ะที่อธิบายทำให้ เข้าใจขึ้นอีกค่ะ

[ฝันบรรเจิด]

อยากทราบวิธีพิสูจน์นะครับ แล้วขอสูตรๆแปลกพวกนี้อีกด้วยนะครับ

หรือไม่ก็เว็บที่รวบรวมสูตรทำนองนี้อะครับ

[warut]

วิธีพิสูจน์ก็อยู่ใน link ที่ผมให้ไว้ข้างบนนั่นแหละครับ