จำนวนคำตอบของสมการครับ !!

[Suwiwat B]

Determine the number of 8-tuples of nonnegative integers $(a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4)$ satisfying $0 \leqslant a_k \leqslant k$ , for each $k = 1,2,3,4$, and $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + 2b_1 + 3b_2 + 4b_3 + 5b_4 = 19$

[กิตติ]

ข้อนี้เป็นข้อสอบของMIT 2008....มีเฉลยด้วย แต่ผมอ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจวิธีคิด มีเฉลยแบบใช้Generate Function ผมยิ่งไม่รู้เรื่อง
รอให้ท่านผู้รู้มาช่วยเฉลยไอเดีย ผมก็รออ่านอยู่เหมือนกัน

[กิตติ]

ผมคิดแบบวิธีของผมเองได้ $1540$
ผมมองการสร้างผลบวก $19$ ว่าจะสร้างจากตัวเลขสี่ตัวได้ยังไง
เลขคี่=เลขคู่+เลขคู่+เลขคู่+เลขคี่ หรือ เลขคู่+เลขคี่ +เลขคี่ +เลขคี่
ถ้าเรามีชุดตัวเลขที่มีความเป็นไปได้ทั้งเลขคู่หรือเลขคี่ได้ จะทำให้เราสร้างผลบวกได้อย่างอิสระ
ลองจับ $a_1+2b_1$ มาเขียนดู
$a_1=0 \rightarrow 0,2,4,..,18$
$a_1=1 \rightarrow 1,3,5,....,19$
ลองจับ $a_2+3b_1$ มาเขียนดู
$a_2=0 \rightarrow 0,3,6,..,18$
$a_2=1 \rightarrow 1,4,7,....,19$
$a_2=2 \rightarrow 2,5,8,....,17$
เช่นเดียวกับ$a_3+4b_3$ และ $a_4+5b_4$ เราจะสร้างจำนวนได้ตั้งแต่ $0$ ถึง $19$ ได้เช่นกัน
ให้ $x_1=a_1+2b_1,x_2=a_2+3b_1,x_3=a_3+4b_3,x_4=a_4+5b_4$
$x_1+x_2+x_3+x_4=19$
ถ้าคิดตามนี้ตรงๆเลย เราก็คิดเหมือนกับการแจกของ แจกได้ 4 แบบ
1.ได้ทุกคน แจกได้ $\binom{19-1}{4-1}=\binom{18}{3} =816 $
2.มี 1 คนไม่ได้ $4\binom{19-1}{3-1}=4\binom{18}{2}=612 $
3.มี 2 คนไม่ได้ $6\binom{19-1}{2-1}=6\binom{18}{1}=108 $
4.มี 3 คนไม่ได้ $4$
รวมได้ทั้งหมด $816+612+108+4=1540$

ในเฉลยฉบับตรงเขาเลี่ยงกรณีที่เลือกหยิบได้เลข$0$ ตรงกันหมด เลยแปลงไปเป็น
$(x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)+(x_4+1)=19+4=23$
ดังนั้นก็เหมือนกับการแจกของ $23$ ชิ้นให้กับคน $4$ คนโดยทุกคนได้รับแจก จะแจกได้เท่ากับ $\binom{23-1}{4-1}=\binom{22}{3} =1540$

[Suwiwat B]

ว้าว .. ขอบคุณมากครับคุณกิตติ

[kongp]

กิตติ คนส่วนมากก็ไม่ได้เรียนก่อนไปสอบหรอกครับ คงเพราะเนื้อหาเยอะเกินไปที่จะสอน วัดกันจริงๆ ที่รู้ก่อนสอบผมเห็นมีลูกหลานผู้ว่าราชการเท่านั้นที่พอรู้

[Keehlzver]

รบกวนคุณกิตติช่วยโพสต์ link ที่เป็นเฉลยของข้อนี้แบบ Generating fuction ให้หน่อยได้ไหมครับ

คุณก้องครับ ผมแนะนำว่าคุณเลิกเอาความคิดเห็นส่วนตัวซึ่งไม่มีบทพิสูจน์ว่าถูกหรือผิดมายัดเยียดในกระทู้ดีกว่าครับ เคารพความต่างนะครับ

[กิตติ]

ไม่รู้จักใครที่เขียนโพสในนี้เลย คงมีแต่คุณKeehlzverที่เป็นขาประจำในบอร์ด ผมเห็นโพสคุณก้องแล้ว อ่านแล้วงงๆกับประโยคสุดท้าย
ไม่เข้าใจความหมาย....เลยไม่ได้สนใจจะโพสตอบเพราะเห็นว่าไม่ได้เกี่ยวกับโจทย์ที่คุณSuwiwatถาม
เฉลยอยู่ตามนี้ครับเฉลยMIT 2008
ตัวข้อสอบข้อสอบMIT2008