จัดรูปอย่างง่าย

[MiNd169]

จงหารูปอย่างง่ายของ $\sqrt{\dfrac{a}{b+\sqrt{\frac{a}{b+\sqrt{\frac{a}{b+\sqrt{\frac{a}{b+...} } } } } } } }$

ที่ผมทำ ผมแทนค่าเป็น $x$ แล้วแก้ มันได้สมการกำลังสามน่ะครับ ไปต่อไม่ถูก

[artty60]

แล้วถ้า $b=0;a=1$ จะได้ ค่า $x=1$

[MiNd169]

ไม่ใช่อ่ะครับ
ค่า $x$ ของผมหมายถึงค่าที่ติดอยู่ในเทอมของ $a$ $b$ อ่ะครับ

[artty60]

ใช้ Vieta's formula ดู (ความสัมพันธ์ของรากกับสัมประสิทธิ์ของพหุนาม)

ให้ $p,q,r$ เป็นรากของสมการพหุนามกำลังสาม

$x^3+bx^2-a=x^3-(p+q+r)x^2+(pq+qr+pr)x-pqr$

$p+q+r=-b........(1)$

$pq+qr+pr=0..........(2)$

$pqr=a...............(3)$

แล้วหา $p,q,r$


ปล. หายาดมไว้ข้างๆด้วยละกัน

[nooonuii]

คงต้องเปลี่ยนหัวข้อกระทู้ใหม่เป็น จัดรูปอย่างยาก

ใช้สูตรรากสมการกำลังสามได้ครับ คำตอบเป็นตัวใดตัวหนึ่งในสามตัวนี้

$\dfrac{1}{6}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}+\dfrac{2}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}-\dfrac{b}{3}$

$-\dfrac{1}{12}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{1}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}-\dfrac{b}{3}+\dfrac{\sqrt{3}i}{2}\left(\dfrac{1}{6}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{2}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}\right)$

$-\dfrac{1}{12}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{1}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}-\dfrac{b}{3}-\dfrac{\sqrt{3}i}{2}\left(\dfrac{1}{6}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{2}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}\right)$

แต่มีบางค่า $(a,b)$ ที่สามารถหาค่าออกมาได้ง่ายๆเช่น

$(a,a-1),a\geq 1$ ได้คำตอบเท่ากับ $1$

$(a,a+1)$ ได้คำตอบเท่ากับ $\dfrac{\sqrt{a^2+4a}-a}{2}$

[artty60]

โอ้โฮ! ท่าน nooonuii อุตส่าห์คิดออกมาให้ดู นับถือ ๆ ท่านคงแอบฝึกวิชาไหมฟ้าอันเป็นวิชาต้องห้ามของบู๊ตึ๊งเป็นแน่แท้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

โอ้โฮ! ท่าน nooonuii อุตส่าห์คิดออกมาให้ดู นับถือ ๆ ท่านคงแอบฝึกวิชาไหมฟ้าอันเป็นวิชาต้องห้ามของบู๊ตึ๊งเป็นแน่แท้

ผมใช้โปรแกรม Maple ครับ มิบังอาจคิดสูตรนี้จริงๆ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

คงต้องเปลี่ยนหัวข้อกระทู้ใหม่เป็น จัดรูปอย่างยาก

ใช้สูตรรากสมการกำลังสามได้ครับ คำตอบเป็นตัวใดตัวหนึ่งในสามตัวนี้

$\dfrac{1}{6}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}+\dfrac{2}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}-\dfrac{b}{3}$

$-\dfrac{1}{12}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{1}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}-\dfrac{b}{3}+\dfrac{\sqrt{3}i}{2}\left(\dfrac{1}{6}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{2}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}\right)$

$-\dfrac{1}{12}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{1}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}-\dfrac{b}{3}-\dfrac{\sqrt{3}i}{2}\left(\dfrac{1}{6}\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}-\dfrac{2}{3}\dfrac{b^2}{\sqrt[3]{108a-8b^3+12\sqrt{81a^2-12ab^3}}}\right)$

แต่มีบางค่า $(a,b)$ ที่สามารถหาค่าออกมาได้ง่ายๆเช่น

$(a,a-1),a\geq 1$ ได้คำตอบเท่ากับ $1$

$(a,a+1)$ ได้คำตอบเท่ากับ $\dfrac{\sqrt{a^2+4a}-a}{2}$

มิอาจเข้าใจ

[MiNd169]

ขอบคุณทุกคนมากครับ คงไม่มีรูปอย่างง่ายจริงๆ

[artty60]

ก็ได้ตามคุณ nooonuii ไงครับ