FE การพิสูจน์ 1-1 onto

[TU Gifted Math#10]

ต้องทำอย่างที่พี่ noonuii บอกครับ คือพิสูจน์ก่อนว่ามี fixed point ซึ่งในข้อนี้ แทน $a$ ด้วย $f(2)$ ก็หาได้ง่ายๆครับ
ส่วนที่คุณ Thgx0312555 ถามมา ถ้า $f(-a)=a$ จะได้ $a^2-2=f(f(-a))=f(a)$ แต่ $a$ เป็น fixed point แสดงว่า $a=a^2-2$ ได้ $a=2$ หรือ $a=-1$ ซึ่งทำต่อตามกรณีคุณ จูกัดเหลียง

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

แทน $x=0$ แล้วได้ $f(x)=x+(f(0))^2$ นิครับ
แต่ถ้าจะพิสูจน์ฟังก์ชันนี้เป็น onto เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน จะแทน $k=(f(0))^2$
แทน $x$ ด้วย $x-k$ จะได้
$f(x-k)=x$
นั่นคือสำหรับทุก $x \in \mathbb{R}$ จะมี $a=x-k$ ซึ่ง $f(a)=x$
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน onto
ประมาณนี้ครับ

$มันได้f(f(y))=(f(0))^2+yไม่ใช่หรอครับ$

[Thgx0312555]

คำถามของคุณปากกาเซียน ถ้าแทน $x=0$ แล้วได้ $f(y)=y+f(0)^2$ สำหรับโจทย์ตอนแรกจริงครับ
ซึ่งสมการดังกล่าวเราจะเขียนแทนตัวแปร $y$ ด้วยตัวแปรอะไรก็มีความหมายเหมือนกัน

ส่วนคุณ TU Gifted Math ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าขัดแย้งในกรณี $f(a)=-a$ เลย

[Keehlzver]

โจทย์ข้อนี้มันไม่ได้ง่ายขนาดนั้นครับ ประเด็นคือไม่มีเหตุผลมาประกอบการสรุปว่า $f(-a)=a$ หรือ $f(-a)=-a$ เท่านั้น

สมมติให้ $g(x)=x^2-2$ จะพิสูจน์ว่าไม่มี $f$ ที่ทำให้ $f(f(x))=g(x)$
สังเกตว่า $g$ มี fixed point 2 ค่าสมมติให้เป็น $a,b$ ดังนั้น $gog$ ก็จะมี fixed point 4 ค่า ($2,-1$ และอีกสองค่าจากสมการ $g(g(x))=x$)
เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน สมมติให้ fixed point ของ $g$ คือ $a,b$ และ fixed point ของ $gog$ คือ $a,b,c,d$
สมมติให้ $g(c)=y$ จะได้ $g(y)=g(g(c))=c$ หรือ $g(y)=c$
เพราะฉะนั้น $g(g(y))=g(c)=y$ ทำให้ได้ว่า $y$ ก็เป็น fixed point ของ $gog$ ด้วย
ดังนั้น $y \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$

กรณี 1. $y=a$ จะได้ว่า $g(y)=g(a)=a$ แต่ $g(y)=c$ ได้ว่า $c=a$
กรณี 2. $y=b$ จะได้ว่า $g(y)=g(b)=b$ แต่ $g(y)=c$ ได้ว่า $b=c$
กรณี 3. $y=c$ จะได้ว่า $g(y)=g(c)=c$ ได้ว่า $g(c)=c$
ซึ่งเป็นไปไม่ได้ทั้งสามกรณี (กรณีที่สามบ่งว่า $c$ เป็นอีกหนึ่ง fixed point ของ $g$ ซึ่งขัดแย้ง)

เพราะฉะนั้นต้องได้ว่า $y=d$ เท่านั้น จะได้ว่า $c=g(y)=g(d)$ หรือ $g(d)=c$
จากข้อสมมติตอนต้น $y=g(c)$ ทำให้ได้ $g(c)=d$ ด้วย

เราจะโยงข้อมูลของ g ที่ได้มาสุ่ $f$
จาก $f(f(x))=g(x)$ จะได้ $g(f(x))=f(f(f(x)))=f(g(x))$
ให้ $t \in \left\{\,a,b\right\}$ จะได้ว่า $f(t)=f(g(t))=g(f(t))$ ซึ่งหมายความว่า $f(t)$ ก็เป็น fixed point ของ $g$ ด้วย ดังนั้น $f(t) \in \left\{\,a,b\right\}$
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $s \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$ จะได้ $f(s) \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$ ด้วย

พิจารณา $c$ เรามี $d=g(c)$ และ $c=g(d)$ เราจะพิจารณาค่าของ $f(c)$ เพื่อให้ได้มาซึ่งข้อขัดแย้ง
เพราะว่า $c \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$ ดังนั้น $f(c) \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$

กรณี 1. $f(c)=a$ จะได้ $f(a)=f(f(c))=g(c)=d$ จะได้ $f(a)=d$
จาก $g(f(a))=f(g(a))$ จะได้ $(f(a))^2-2=f(g(a))=f(a)$ หรือ $d^2-2=d$ ขัดแย้งกับ $g(d)=c$

กรณีที่ 2 $f(c)=b$ จะได้ $f(b)=f(f(c))=g(c)=d$ จะได้ $f(b)=d$
จาก $g(f(b))=f(g(b))$ จะได้ $(f(b))^2-2=f(b)$ หรือ $d^2-2=d$ ขัดแย้งกับ $g(d)=c$

กรณีที่ 3 $f(c)=c$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $f(c)=f(f(c))=g(c)=d$ ได้ $f(c)=d$ ขัดแย้งกับที่สมมติ $f(c)=c$

กรณีที่ 4 $f(c)=d$ ได้ $f(d)=f(f(c))=g(c)=d$
จาก $g(f(d))=f(g(d))$ ได้ $g(d)=f(c)$ แต่จาก $g(d)=c$ ทำให้ได้ $f(c)=c$ ซึ่งเหมือนกรณีที่ 3

สรุปว่าไม่มี $f$ ที่ทำให้ $g(x)=f(f(x))$ ครับ