1st IMO 1959,Q#02

[YOKEE]

2. For what real values of x is

ึึ(x +ึึ(2x-1)) + ึึ(x -ึึ(2x-1)) = A

given
(a) A = ึึ2,
(b) A = 1,
(c) A = 2,
where only non-negative real numbers are allowed in square roots and the root always denotes the non-negative root?

[TSW]

ึ(x+ึ(2x-1)) + ึ(x-ึ(2x-1)) = A
มีเงื่อนไขบังคับว่า 2x-1 >=0 หรือ x>=1/2
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้
2x + 2ึ(x^2 - 2x +1) = A^2
x+|x-1| = (A^2) / 2

ถ้า x<=1 จะได้
x+|x-1| = x + (1-x) = (A^2) / 2
1= (A^2) / 2
A=ึ2
จะเห็นว่า A=ึ2 ก็ต่อเมื่อ x <=1 เท่านั้น ...............[Note 1]

ถ้า x>=1 จะได้
x+|x-1| = x + (x-1) = (A^2) / 2
x = ((A^2) + 2)/ 4 ....................[Eq 2]

(a) เมื่อ A=ึ2
จะได้ 1/2<=x<=1

(b) เมื่อ A=1 จาก [Note 1] จะได้ x>=1
จากสมการ [Eq 2] จะได้ x = (1 + 2)/ 4 = 3/4
ดังนั้นไม่มีค่า x ที่เป็นไปได้ในกรณีนี้

(c) เมื่อ A=2 จาก [Note 1] จะได้ x>=1
จากสมการ [Eq 2] จะได้ x = (4 + 2)/ 4 = 3/2
ดังนั้น x=3/2