1st IMO 1959,Q#03

[YOKEE]

Let a, b, c be real numbers. Given the equation for cos x:

a cos²x + b cos x + c = 0,

form a quadratic equation in cos 2x whose roots are the same values of x. Compare the equations in cos x and cos 2x for a=4, b=2, c=-1.

[TSW]

a cos² x + b cos x + c = 0
-b cos x = a cos² x + c
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
b² cos² x = a² cos⁴ x + c² + 2ac cos² x

จาก
cos 2x = 2 cos² x - 1
cos² x = (1+cos 2x)/2
cos⁴ x = (1+cos² 2x + 2cos 2x)/4

จะได้
b² (1+cos 2x)/2 = a² (1+cos² 2x + 2cos 2x)/4 + c² + 2ac (1+cos 2x)/2

b² (1+cos 2x)/2 = a² (1+cos² 2x + 2cos 2x)/4 + c² + ac (1+cos 2x)

2b² (1+cos 2x) = a² (1+cos² 2x + 2cos 2x) + 4c² + 4ac (1+cos 2x)

2b² + 2b²cos 2x = a² + a²cos² 2x + 2a²cos 2x + 4c² + 4ac + 4ac cos 2x

a²cos² 2x + (2a²+ 4ac - 2b²) cos 2x + (4c² + 4ac + a² - 2b²) = 0

จากนั้นให้ a=4, b=2, c=-1 จะได้
16 cos² 2x + 8 cos 2x - 4 = 0
หรือ 4 cos² 2x + 2 cos 2x - 1 = 0 .............[Eq 1]
จากนั้นให้ a=4, b=2, c=-1 ในสมการตั้งต้น จะได้
4 cos² x + 2 cos x - 1 = 0 .............[Eq 2]

สังเกตได้ว่าสมการ [Eq 1] และ [Eq 2]มีรูปแบบเหมือนกัน

a(cos x)^2 + b(cos x) + c = (cos x^2) + b/a*cos(x) + c/a = 0
เปลี่ยนเป็น y^2 + by/a + c/a = 0
ให้รากเป็น y1, y2
ได้ว่า y1+y2 = -b/a, y1*y2 = c/a
ต้องการสร้างพหุนามที่มีรากเป็น 2(y1)^2 + 1 และ 2(y2)^2 + 1
ให้พหุนามนั้นเป็น x^2 + px + q
ได้ว่า
-p = 2(y1)^2 - 1 + 2(y2)^2 - 1
= 2(y1^2 + y2^2) - 2
= 2((y1+y2)^2 - 2*y1*y2) - 2
= 2((b/a)^2 - 2c/a) -2
และ
q = (2(y1^2)-1)(2(y2^2)-1)
= 4y1^2*y2^2 - 2(y1^2+y2^2) + 1
= 4(c/a)^2 - 2((b/a)^2 -2c/a) + 1
ดังนั้น สมการคือ
(cos 2x)^2 - (2(b/a)^2 -4c/a - 2)*(cos 2x) + 4(c/a)^2 - 2(b/a)^2 + 4c/a + 1

สวัสดีครับ คุณโยคี ขออนุญาตเรียกว่าพี่โยคี นะครับ ได้อ่านกระทู้ของ คุณ กามศักดิ์ ณ พิเรนทร์ทลาย ในหัวข้อที่ว่า 1!+2!+3!+...+n!=? ในรูปง่ายๆแล้ว พี่ได้เฉลยมา ขอความกรุณาพี่โยคีแสดงวิธีคิดด้วยนะครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[gon]

รู้สึกว่าน้องรักเร่ จะเข้าใจอะไรผิดไปนะครับ. ปัญหาที่คุณกามศักด์ตั้งไว้เป็นครั้งที่ 2 นั้น ปัจจุบันคงยังไม่มีใครคิดได้นะครับ. และที่ ๆ เขียนตอบอะไรไว้นั้น นั่นก็ไม่ใช่สูตรอะไรนะครับ แค่เป็นเพียงการจัดรูปธรรมดา ๆ เท่านั้นเองลองดู ๆ ดีก็เข้าใจครับ.

รู้จักจำนวนเบอร์นูลลีหรือเปล่าครับ. ประมาณราว 1 ก่อนเพื่อนพี่ (Top) เอาปัญหามาให้พี่ลองคิดดูเล่นเกี่ยวกับอนุกรม ซึ่งปัญหานี้ก็นำไปสู่ จำนวนเบอร์นูลลีนั่นเอง ก็ไม่มีปัญหาอะไร ต่อมา Top ก็เลยตั้งปัญหาที่มันเป็น general case กว่าขึ้นไปอีก ทีแรกเอาแนวคิดเดิมที่ใช้แก้ปัญหาที่แล้วมาคิดไม่ได้ เพราะมันจะเป็น recuurence relation ถึง 2 มิติ ซึ่งแน่นอนไม่มีสอนวิธีการแก้ปัญหาแบบนี้กัน แค่ 1 มิติ แต่ซ้อนกัน 3 ชั้นก็ยากเต็มทีแล้ว ต่อมาโดย sense บางอย่างของ Top จึงตั้งสมการ recurrence สมการหนึ่งออกมาได้ ซึ่งเป็นทางที่จะนำไปสู่การแก้ปัญหาดังกล่าว

ทีแรกก็ยังคิดไม่ออกอยู่ดี เพราะมันไม่มีการสอนวิธีการแก้ปัญหาแบบนี้อยู่ แต่ด้วย sense บางอย่างของพี่จึงทำให้สามารถมองเห็นรูปแบบบางอย่างออก จึงเริ่มแก้ได้ในที่สุด เช่นได้สัมประสิทธิ์ตัวแรกเป็น a₁ = -(2m + 1)/(6ด2^m-1(n-1)! (ไม่ใช่ตัวเลขเดี๋ยว ๆ เพราะมันเป็น general case กว่า) หรือตัวต่อมา a₂ = (4m² + 4m + 3)/(72ด2^m-2(m - 2)! ตัวต่อไปยิ่งโหดเข้าไปอีกเรื่อย ๆ ๆ อีกทั้งเรายังไม่มีเอกลักษณ์ทาง Combinatorics ที่จะ simplify ปัญหาในสมการด้วย คิดได้ถึงแค่ตัวที่ 3 ก็แทบใจจะขาดแล้ว จึงหยุดคิด ต่อมา Top จึงใช้วิชาเมตริกซ์นำสมการจับไปใส่โปรแกรม Mathematica เพื่อให้ช่วย Solve ให้ และแล้วเราก็พิมพ์ผลลัพธ์ออกมาดู ปรากฏว่ามันโหดขึ้นเรื่อย ๆ จริง เราสั่งให้มันพยายามจัดในรูปอย่างง่ายที่สุด เพื่อให้มองรูปแบบออกโดยการพยายามแยกตัวประกอบ ปรากฏว่าเห็นครับว่ารูปแบบมันมี โดยสัมประสิมธิ์ของพจน์คี่มันพอยังมองออก 3 ใน 10 ส่วน แต่สัมประสิมธิ์ของพจน์คู่นั้นมองไม่ออกเลย มันซับซ้อนมากจนเกินกว่าที่ Super sense ของคนจะมองออก เราจึงถึงบางอ้อ ว่าทำไมมันจึงไม่เคยปรากฏในสูตร Text Book เล่มใด ๆ หรือ ตำราเล่มใด ๆ ที่เราเคยเจอมาก่อนเลย เพราะ 1. มันไม่สามารถเขียนในรูปง่าย ๆ ออกมาได้ 2.ถึงแม้ว่ามันเขียนรูปออกมาได้ สูตรของมันก็ไม่อาจจะเรียกว่าสูตรได้ เพราะการที่เราเรียกว่าสูตรเพราะเราคาดหวังว่ามันจะช่วยทำให้การคำนวณต่าง ๆ มันง่ายขึ้น แต่นี่กลับทำให้ยากขึ้นไปอีก

ในเรื่องของ 1! + 2! + ... + n! นี่ก็เช่นกัน ถึงคิดได้ แต่ก็คงเขียนออกมาในรูปง่าย ๆ ไม่ได้ ถึงเขียนออกมาก็ไม่ได้ช่วยทำให้คำนวณได้เร็วขึ้นตรงไหนเลย และที่สำคัญ จะมีสักกี่คนที่จะจำสูตรนั้นได้ !!!

ผมไม่รู้จัก เบอร์นูลลีนอะครับ แล้ว recursive relation ก็ด้วยครับรบกวนพี่มังกรช่วยแนะนำหรือบอก webside ที่ศึกษาด้วยตัวเองแบบง่ายๆด้วยนะครับ หรือถ้าไม่รบกวนมากจนเกินไปก็ขอให้พี่อธิบายด้วยนะครับ ผมได้อ่านบทความเก่าๆแล้วครับพี่บอกว่าจัดรุป 1!+2!+3!+...+n! ได้แต่ไม่มีประโยชน์ รบกวนพี่ช่วยนำการจัดรูปนั้นมาลงด้วยนะครับ เพราะผมคิดว่าผมคงได้ความรู้ขึ้นอีกมากกับการจัดรูปอะครับ แม้มันจะยาวมากๆก็ตามครับ เคยได้บทความคณิตศาสตร์จากวารสาวสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทยครับ มีเนื้อหาเรื่อง Factal ครับรบกวนพี่มังกรแนะนำเรื่องนี้ด้วยครับ ผมสนใจมากๆครับ

[gon]

จะให้พื่อธิบายทั้งหมดคงไม่ไหว เอาเป็นเรื่อง recurrence relation ก่อนก็แล้วกัน เนื้อหาจริง ๆ มันจะอยู่ในส่วนของวิชาที่เรียกว่า Discrete Mathematics ย่อยลงไปคือ เรื่อง Combinatorics แล้วจึงมาถึง recurrence relation ในระดับ ม.ปลายไม่มีเรียนกัน แต่จะมีสอนในค่ายโอลิมปิก หรือ เรียนในมหาวิทยาลัย พวกที่เรียนคือคณะพวกวิทยาศาสตร์เอกคณิตศาสตร์ หรือ พวกที่เรียนเอกทางคอมพิวเตอร์

จะว่าไม่มีสอนใน ม.ปลายทีเดียวก็คงไม่ใช่ เพราะใน ม.6 เทอม 2 เรื่อง ลำดับและอนุกรม มันก็ถือว่าเป็น recurrence relation ได้ เช่นลำดับเลขคณิต 3, 7, 11, ... ถ้าถามว่าพจน์ถัดไปคืออะไร ก็คงตอบได้ว่าคือ 15 กล่าวคือ พจน์ถัดไปจะเกิดจากพจน์ก่อนหน้านี้บวกด้วย 4 ถ้าเขียนเป็น recurrence relation ก็จะได้ว่า a_n = a_{n- 1} + 4 หรือ ลำดับ 3, 9, 27 , .... ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิตก็จะได้ว่า a_n = 3a_{n- 1} เป็นต้น.

เว็บไซต์ที่ศึกษาด้วยตัวเองอย่างง่าย ๆ ตอบไม่ได้หรอกครับ เพราะพื้นฐานของแต่ละคนมันไม่เหมือนกัน ดังนั้นมีแต่ต้องลองหาและก็อ่านดูเท่านั้นจึงรู้ด้วยตัวท่านเอง (Link ในเว็บเราก็มีเป็นสิบ ๆ เคยลองเข้าไปบ้างหรือเปล่าครับ) ส่วนเรื่องการจัดรูป 1! + 2! + .... + n! เพราะมันไม่มีประโยชน์ในการจัดอย่างไงครับ พี่จึงไม่ได้อยากทำให้เสร็จ ที่ทำไปก็ปาทิ้งไปตั้งนานแล้ว ไม่อยากคิดแล้วด้วย หมดสิทธิ์ดูครับ. ว่าง ๆ หรือเมื่อถึงเวลาอันควร น้องก็ลองคิดด้วยตัวเองเถอะครับ.

[i_aom]

ข้อความเดิมของคุณ <รักเร่>:
ผมไม่รู้จัก เบอร์นูลลีนอะครับ แล้ว recursive relation ก็ด้วยครับรบกวนพี่มังกรช่วยแนะนำหรือบอก webside ที่ศึกษาด้วยตัวเองแบบง่ายๆด้วยนะครับ หรือถ้าไม่รบกวนมากจนเกินไปก็ขอให้พี่อธิบายด้วยนะครับ ผมได้อ่านบทความเก่าๆแล้วครับพี่บอกว่าจัดรุป 1!+2!+3!+...+n! ได้แต่ไม่มีประโยชน์ รบกวนพี่ช่วยนำการจัดรูปนั้นมาลงด้วยนะครับ เพราะผมคิดว่าผมคงได้ความรู้ขึ้นอีกมากกับการจัดรูปอะครับ แม้มันจะยาวมากๆก็ตามครับ เคยได้บทความคณิตศาสตร์จากวารสาวสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทยครับ มีเนื้อหาเรื่อง Factal ครับรบกวนพี่มังกรแนะนำเรื่องนี้ด้วยครับ ผมสนใจมากๆครับ