Math proof -*-

[B บ ....]

พิสูจน์โจทย์ไม่ได้อ่ะครับ ใครทำได้ช่วยเขียนแนวๆให้หน่อยครับ งง ไม่รู้จะเริ่มตรงไหน แล้วต่อยังไง

1. ให้ X ไม่เป็นเซตว่าง และ {$Ai | i \in I$} เป็น index family(วงศ์ดัชนีของเซต)ของ X วงหนึ่ง
กล่าวว่า {Ai | i $\in$ I}เป็นการแบ่งกั้นของ X ถ้า {$Ai | i \in$ I} สองคล้อง
$1) Ai \not= เซตว่าง \forall i \in I $
$2) \forall i\not= j , Ai \cap Aj = เซตว่าง หรือ Ai = Aj $
$3) X = \bigcup_{i\in 1} Ai $
$ให้ {Ai | i \in I} เป็น index family ของเซตย่อยของ X วงศ์หนึ่ง $
จงแสดงว่า ถ้า {Ai | i $ \in $ I} เป็นการแบ่งกั้นของ X แล้ว จะมี ความสัมพันธ์สมมูล ~ บน X
โดยที่ {[a] | a $\in$ X} = {Ai | i $\in$ I} เมื่อ [a] แทน class ความสัมพันธ์สมมูลนิยามว่า [a] = {b|a~b}
2.ให้ X ไม่เป็นเซตว่าง และ$ \Lambda$ แทนเซตของการแบ่งกั้นทั้งหมดของ X และ$ \Omega $แทนเซตของความสัมพันธ์สมมูลทั้งหมดบน X
จงพิสูจน์ว่า มีฟังก์ชั้นหนึ่งต่อหนึ่งจาก$ \Omega ไปทั่วถึง \Lambda $
3.จงพิสูจน์ว่า {a1, a2, ... an} $\subseteq R $ ไม่เป็นเซตเปิด
ขอบคุณครับบบบ

เออพิมพ์แล้วเครื่องหมาย{} ตกไป : Ai∣i∈I คือ {Ai∣i∈I}, [a]∣a∈X คือ {[a]∣a∈X} และ [a]แทนclassความสัมพันธ์สมมูลนิยามว่า {[a]=b∣a~b} เมื่อ ~ แทนความสัมพันธ์สมมูล และก็ตรงข้อ 3 ) n=1 เป็น i∈I

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

พิสูจน์โจทย์ไม่ได้อ่ะครับ ใครทำได้ช่วยเขียนแนวๆให้หน่อยครับ งง ไม่รู้จะเริ่มตรงไหน แล้วต่อยังไง

1. ให้ $X$ ไม่เป็นเซตว่าง และ $\{ A_i \mid i \in I\}$ เป็น index family (วงศ์ดัชนีของเซต) ของ $X$ วงหนึ่ง

เรากล่าวว่า $\{A_i \mid i \in I\}$ เป็นการแบ่งกั้นของ $X$ ถ้า $\{A_i \mid i \in I\}$ สองคล้อง

1) $A_i \not= \emptyset\, \forall i \in I $

2) $\forall i\not= j , A_i \cap A_j = \emptyset$ หรือ $A_i = A_j $

3) $X = \bigcup_{i\in I} A_i $

ให้ $\{A_i \mid i \in I\}$ เป็น index family ของเซตย่อยของ $X$ วงศ์หนึ่ง

จงแสดงว่า ถ้า $\{A_i \mid i \in I\}$ เป็นการแบ่งกั้นของ $X$ แล้ว จะมี ความสัมพันธ์สมมูล $\sim$ บน $X$

โดยที่ $\{[a] \mid a \in X\} = \{A_i \mid i \in I\}$ เมื่อ $[a]$ แทน class ความสัมพันธ์สมมูลนิยามว่า

$[a] = \{b\mid a\sim b\}$

2. ให้ $X$ ไม่เป็นเซตว่าง และ $\Lambda$ แทนเซตของการแบ่งกั้นทั้งหมดของ $X$ และ $\Omega$ แทนเซตของความสัมพันธ์สมมูลทั้งหมดบน $X$

จงพิสูจน์ว่า มีฟังก์ชั้นหนึ่งต่อหนึ่งจาก $\Omega$ ไปทั่วถึง $\Lambda $

3.จงพิสูจน์ว่า $\{a_1, a_2, ..., a_n\}\subseteq \mathbb{R} $ ไม่เป็นเซตเปิด
ขอบคุณครับบบบ

1. นิยาม $a\sim b\Leftrightarrow \{a,b\}\subseteq A_i$ บาง $i\in I$

2. ใช้ข้อหนึ่ง

3. WLOG สมมติ $a_1<a_2<\cdots<a_n$

ให้ $\epsilon=\frac{a_2-a_1}{2}>0$

จะเห็นว่า $(a_1-\epsilon,a_1+\epsilon)\cap\{a_1,a_2,...,a_n\}=\{a_1\}$

สรุปได้หรือยังว่าเซต $\{a_1,...,a_n\}$ ไม่เป็นเซตเปิด ?

[B บ ....]

ตรวข้อ 3 อ่ะครับ ถ้าไม่สมมติ a1<a2<···<an จะทำได้มั้ยอ่าครับ เพราะถ้าอยู่ๆสมมติอย่างนี้เลย ต้องพิจารณากรณี
$\exists i = j, ai = aj$

ข้อ 1-2 ก็ยัง งง อยู่ดี คือ นิยาม a~b⇔{a,b}⊆Ai บาง i∈I แล้วต้องไปพิสูจน์ว่า [a] เป็นการแบ่งกั้น แล้วก็พิสูจน์ต่อว่า {[a]} = {Ai∣i∈I} หรอครับ ? T T งงจริงๆ ไม่รู้เรื่องพวกนี้เท่าไหร่อ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

ตรวข้อ 3 อ่ะครับ ถ้าไม่สมมติ a1<a2<···<an จะทำได้มั้ยอ่าครับ เพราะถ้าอยู่ๆสมมติอย่างนี้เลย ต้องพิจารณากรณี
$\exists i = j, ai = aj$

ถ้าเขียนเซตแบบนี้ $\{a_1,a_2,...,a_n\}$ ผมอนุมานว่าทุกตัวต่างกันหมดครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

ข้อ 1-2 ก็ยัง งง อยู่ดี คือ นิยาม a~b⇔{a,b}⊆Ai บาง i∈I แล้วต้องไปพิสูจน์ว่า [a] เป็นการแบ่งกั้น แล้วก็พิสูจน์ต่อว่า {[a]} = {Ai∣i∈I} หรอครับ ? T T งงจริงๆ ไม่รู้เรื่องพวกนี้เท่าไหร่อ่ะครับ

สมมติ $a\in A_i$ ลองพิสูจน์ว่า $[a]=A_i$ ก็จะได้ผลแบ่งกั้นออกมาทันที

ส่วนข้อสอง ถ้ามีผลแบ่งกั้นเราจะได้ความสัมพันธ์สมมูล $\sim$ ที่นิยามในข้อ 1

ถ้ามีความสัมพันธ์สมมูล $\sim$ เราจะได้ผลแบ่งกั้น $\{[a]\}$

สองบรรทัดข้างบนนำมานิยามฟังก์ชันได้สองตัว แต่ละตัวจะเป็น inverse ของกันและกัน

[B บ ....]

อ้อ ครับ ขอบคุณครับ พอมองเห็นทางๆ ลางๆลอยมา

[B บ ....]

เออ ข้อ 1 กับข้อ 3 ผ่านละครับ แต่เหลือข้อ2 -*-
คือ งงนิว่า คำว่าเซตของการแบ่งกั้นทั้งหมดกับเซตของความสัมพันธ์สมมูลทั้งหมด มันเป้นไงอ่ะครับ ?
ถ้าสมมติ X = {a,b,c} นิยาม ~ เหมือนข้อ 1 แล้วไอเซตการแบ่งกั้นทั้งหมดกับความสัมพันธ์สมมุลทั้งหมดมันเป็นไงอ่ะครับ(ผมสงสัยว่ามันเท่ากับ {X} รึป่าว) เหมือนมันต้องใช้พิสูจน์ตอน f onto(รึป่าว งงๆ) ,แล้วไิอฟังก์ชัน f ตัวเนี๊ยะมันนิยามประมาณว่า f({Ai}) = [ai] เมื่อ Ai = [ai] รึป่าวอ่าครับ

[nooonuii]

$X=\{a,b,c\}$

$P_1=\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$

$P_2=\{\{a\},\{b,c\}\}$

$P_3=\{\{a,b\},\{c\}\}$

$P_4=\{\{a,c\},\{b\}\}$

$P_5=\{\{a,b,c\}\}$

นี่คือผลแบ่งกั้นทั้งหมดของ $X$ ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

แล้วไิอฟังก์ชัน f ตัวเนี๊ยะมันนิยามประมาณว่า f({Ai}) = [ai] เมื่อ Ai = [ai] รึป่าวอ่าครับ

$f$ จะส่งผลแบ่งกั้นไปยังความสัมพันธ์สมมูล ถ้านิยามแบบนี้แล้ว $f$ ส่งไปความสัมพันธ์สมมูลหรือเปล่าครับ ลองเช็คดู

[B บ ....]

ถ้างั้นแสดงว่าในกรณีทั่วไปของเซต X เซตของผลแบ่งกันทั้งหมดน่าจะเป็น P(X) - $\varnothing $ รึป่าวอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

ถ้างั้นแสดงว่าในกรณีทั่วไปของเซต X เซตของผลแบ่งกันทั้งหมดน่าจะเป็น P(X) - $\varnothing $ รึป่าวอ่ะครับ

ก็ไม่ใช่ซะทีเดียวนะครับ

ลองดูตัวอย่างที่ผมยกมาให้ดูก็ได้

ผลแบ่งกั้นจะมีเงื่อนไขว่าเมื่อเอาทุกเซตมารวมกันจะได้ $X$ เสมอ

แต่ $P(X)$ จะมีสมาชิกบางตัวที่ไม่มีสมบัตินี้ครับ