FE การพิสูจน์ 1-1 onto

[จูกัดเหลียง]

อย่างโจทย์เป็น $f(xf(x)+y)=y+f(x)^2$ <--BMO อ่ะครับ
คือผมทำเเบบ ให้ $f(x)=f(z)$ เเล้วเเทน $x=0$ ก่อนอ่ะครับได้ว่า $f(f(x))=x+f(0)^2$
ดังนั้น $z+f(0)^2=f(f(z))=f(f(x))=x+f(0)^2\rightarrow x=z$
เเต่ถ้าจะพิสูจน์ว่ามันเป็น onto นี่ทำไงอ่ะครับรบกวนด้วย

[Thgx0312555]

แทน $x=0$ แล้วได้ $f(x)=x+(f(0))^2$ นิครับ
แต่ถ้าจะพิสูจน์ฟังก์ชันนี้เป็น onto เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน จะแทน $k=(f(0))^2$
แทน $x$ ด้วย $x-k$ จะได้
$f(x-k)=x$
นั่นคือสำหรับทุก $x \in \mathbb{R}$ จะมี $a=x-k$ ซึ่ง $f(a)=x$
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน onto
ประมาณนี้ครับ

[Keehlzver]

ใช้นิยามของฟังก์ชัน onto ครับ $f:A \rightarrow B$ onto ก็ต่อเมื่อทุก $y \in B$ จะมี $x \in A$ ที่ทำให้ $y=f(x)$ ดังนั้นเลือก $x=...$ จะได้ $y=f(x)$ ก็สรุปได้ว่า $y$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

[จูกัดเหลียง]

อ่อครับ ขอบคุณทั้งสองท่านเลยครับ

[~ArT_Ty~]

เอ่อ ขอแทรกนิดนึงครับ คือตรงที่คุณ Thgx0312555 บอกมาอ่ะครับว่า $f(x)=x+f(0)^2$

แล้วแบบนี้เราจะสรุปว่า $f(x)=x+c$ ไปเลยได้มั้ยอ่ะครับ แล้วค่อยกลับไปแทนหาค่า $c$ ทีหลัง

[จูกัดเหลียง]

ผมว่าได้นะครับ เเต่อาจเป็นไปได้ว่าผมลอกโจทย์ผิดมันคงจะเป็น $f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^2$ อ่ะครับเพราะผมเเทนค่าเเล้วมันติดสองชั้น
ซึ่งถ้าเป็นเเบบนี้เเล้วผมลองเเทนเป็น $x=1,y=x-f(1)^2$ จะได้ $$f(f(1)+f(x-f(1)^2))=x$$
จะสรุปว่าเป็น onto ได้ป่าวครับ

[TU Gifted Math#10]

สรุปได้ครับ คุณจูกัดเหลียง

[จูกัดเหลียง]

ขอบคุณครับ มีมาอีกครับ 555
จงเเสดงว่าไม่มี$f:R\rightarrow R$ ที่สอดคล้องกับ $f(f(x))=x^2-2$ ทำไงอ่ะครับ

[TU Gifted Math#10]

Hint ให้ว่าลองสังเกตพวกxตัวที่ f(x)=x

[Amankris]

#8
เทคนิค Fixed Point ได้เรียนในค่ายสสวท.นะครับ

[จูกัดเหลียง]

#9,10 ลองโชว์ให้หน่อยได้ไหมครับ คือไปไม่เป็นจริง 555

[TU Gifted Math#10]

http://eqworld.ipmnet.ru/en/education/li.pdf ลองศึกษาดูเองก่อนครับ ทำได้เองจะได้ภูมิใจ

[จูกัดเหลียง]

ผมลองๆไปก่อนนะครับ 5555
สมมุติว่ามี $f$ ที่สอดคล้องกับ $f(f(x))=x^2-2$
ให้ $a$ เป็น fixed point ของ $f$ ได้ว่า $a^2-2=f(f(a))=a\rightarrow a=2,-1$ เท่านั้น
เเทนค่า $x$ ด้วย $-a$ ได้ว่า $f(f(-a))=a^2-2=a\therefore f(-a)=a,-a$ เเต่พบว่า เป็น $a$ ไม่ได้
ดังนั้น $-a$ ก็เป็นจุดตรึงด้วย ทำให้ได้ว่า
$$a=f(f(a))=a^2-2=f(f(-a))=-a$$
ทำให้ $a=0$ จึงขัดเเย้ง
ปล.ขอบคุณทุกๆท่านมากเลยครับ

[nooonuii]

เอ เราได้พิสูจน์ไปแล้วรึยังว่า $f$ จะต้องมี fixed point น่ะครับ

หรือผมมองข้ามอะไรง่ายๆไป

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเทนค่า $x$ ด้วย $-a$ ได้ว่า $f(f(-a))=a^2-2=a\therefore f(-a)=a,-a$ เเต่พบว่า เป็น $a$ ไม่ได้
ดังนั้น $-a$ ก็เป็นจุดตรึงด้วย ทำให้ได้ว่า
$$a=f(f(a))=a^2-2=f(f(-a))=-a$$
ทำให้ $a=0$ จึงขัดเเย้ง

ทำไม f(-a) เป็น a ไม่ได้ครับ (f ไม่ได้เป็น 1-1 และ onto ด้วย)