ตรงนี้ Rouche's theorem มันใช้ยังไงครับ?

[M@gpie]

มีสมการที่มี $\lambda$ เป็นตัวแปร และ $\alpha, \beta$ เป็นค่าคงที่ครับ ดังนี้ \[ e^{\lambda} = \frac{(1-\alpha)\lambda-\beta}{(1+\alpha)\lambda+\beta}\]
ซึ่งเขาแสดงวิธีการแก้ไว้ดังนี้ครับ
\[ e^{2\lambda} = \frac{(1-\alpha)\lambda-\beta}{(1+\alpha)\lambda+\beta} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha} - \frac{2\beta}{(1+\alpha)^2\lambda} + o(|\lambda|^{-2}), |\lambda| \rightarrow \infty\]
Solve the previous equation by virtue of Rouche's theorem to give $\lambda$ as
\[ \lambda_n = \frac{1}{2}\ln \big\vert \frac{1-\alpha}{1+\alpha}\big\vert \; \; + \; \; n_\alpha \pi i + o(\frac{1}{|n|}),\; \; |n| \rightarrow \infty\]
where \[ n_\alpha = \left\{\begin{array}{ccc} n &,& 0<\alpha <1 \\ n-\frac{1}{2} &,& \alpha >1 \end{array} \right.\]
Note: $\lambda$ can be complex numbers.


คำถามคือผม งงว่า เขาใช้ยังไงเหรอครับ Rouche's theorem ตรงนี้... ?
ทฤษฎีบอกว่าสมการจะมีรากเท่ากันแต่ไม่ได้บอกว่าเป็นรากเดียวกัน ??

[nooonuii]

ยังไม่เคยใช้ Rouche's Theorem ในลักษณะนี้มาก่อนครับ ส่วนใหญ่จะใช้ตรวจสอบว่าฟังก์ชันมีรากอยู่ในช่วงไหนมากกว่า ไม่แน่ว่าอาจจะต้องใช้ Argument Principle โดยตรงด้วยรึเปล่าครับ เพราะทฤษฎีบทนี้เป็นหัวใจสำคัญในการพิสูจน์ Rouche's Theorem

[M@gpie]

ครับ ผมก็งง เหมือนกันว่าใช้ตรงไหน ถ้าเปลี่ยนเป็นประมาณคำตอบจะได้รึเปล่าครับผม??

เพราะว่าผมคิดได้ว่าคำตอบสองเทอมแรก ได้มาจากคำตอบของสมการนี้
\[ e^{2\lambda} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha} \]
แต่ว่า มันจะเท่ากับสมการเริ่มต้นเมื่อ $|\lambda| \rightarrow \infty$ เท่านั้น แต่ผมก็ยังตอบไม่ได้ว่าทำไมถึงมี $o(1/|n|)$ โผล่มาด้วย อีกอย่างนึงคือ $\beta$ ทำไมหายไปเลย ?


ยังไงก็ขอเชิญทุกท่านแสดงความเห็นได้เลยนะครับ

[nooonuii]

แน่ใจนะครับว่ามี Rouche's Theorem แบบนี้แบบเดียว