โจทย์จากค่าย สอวน.

[alpha]

จงหาจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ n! มีศูนย์ต่อท้าย 37 ตัว

ข้อสอบท้ายค่าย2 มอ. ครับ พร้อมใจกันเว้นว่างแทบทั้งค่าย

[TSW]

ตอบ 150 ครับ
เลข 0 ที่ลงท้ายเกิดการผลคูณของพหุคูณของ 2 และ 5 ที่อยู่ใน n! (2*5=10)
ตัวพหุคูณ 5 มีน้อยกว่า พหุคูณของ 2 เพราะว่าตัวพหุคูณของ 2 มีทุกๆ ชุดตัวเลข 2 ตัวเรียงกันแต่ตัวพหุคูณของ 5 มีทุกๆ ชุดตัวเลข 5 ตัวเรียงกัน

เขียน n! ในรูปผลคูณโดยสนใจพหุคูณของ 5
n! = 1*2*3*4*5*...*10*...*15*...*20*...*25*...*30*...*n = A*5^k

(1) ทุกๆ ตัวเลขเรียงกัน 5 ตัวจะมีตัวพหุคูณของ 5 อยู่หนึ่งตัว,
เราจะได้เลขชี้กำลังของ 5 เพิ่มมาอีกหนึ่ง,
เลขชี้กำลังอันนี้หาได้โดย ๋n/5๛
(2) ทุกๆ ตัวเลขเรียงกัน 25 ตัวจะมีตัวพหุคูณของ 25 อยู่หนึ่งตัว,
เราจะได้เลขชี้กำลังของ 5 เพิ่มจากข้อ (1),
เลขชี้กำลังอันนี้หาได้โดย ๋n/25๛
(3) ทุกๆ ตัวเลขเรียงกัน 125 ตัวจะมีตัวพหุคูณของ 125 อยู่หนึ่งตัว,
เราจะได้เลขชี้กำลังของ 5 เพิ่มจากข้อ (1) และ (2),
เลขชี้กำลังอันนี้หาได้โดย ๋n/125๛
...

ดังนั้นเลขชี้กำลังของ 5 ใน n! หาได้โดย
๋n/5๛ + ๋n/(5²)๛ + ...
เมื่อ ๋x๛ เป็นจำนวนเต็มที่มากสุดที่ไม่เกิน x

ถ้า n=5¹=5 จะได้ k=(n/5)=1
ถ้า n=5²=25 จะได้ k=(n/5)+(n/25)=5+1=6
ถ้า n=5³=125 จะได้ k=(n/5)+(n/25)+(n/125)=25+5+1=31

เราต้องการ k=37 ซึ่งจะเห็นว่าถ้า n=5³+5²=150 จะได้ k=31+6=37 พอดี (การบวกแบบนี้ใช้ได้เฉพาะการบวกที่ไม่ทำให้ เลขชี้กำลังมากสุดของ 5 เปลี่ยนแปลง)

ลองตรวจคำตอบอีกครับ
150! มีพหุคูณของ 5 อยู่ 30 ตัว, มีพหุคูณของ 25 อยู่ 6 ตัว, มีพหุคูณของ 125 อยู่ 1 ตัว รวมกันได้ 37 ตัวพอดี ซึ่ง 149 จะมีพหุคูณของ 5,25 น้อยกว่า

[alpha]

Thanks ครับ จะพยายามทำความเข้าใจ