metrix ของปี 1 อะคับ

[Suesalito]

1.จงหาผลเฉลยของระบบสมการ
x+2y-3z+2w = 2
2x+5y-8z+6w = 5
3x+4y-5z+2w = 4

2. x+y-z =1
2x+3y+az=3
x+ay+3z = 2
จงหาค่า a พร้อมทั้งให้เหตูผลที่ทำให้ระบบสมการนี้
2.1 ไม่มีผลเฉลย
2.2 มีผลเฉลยอนันต์ชุด
2.3 ผลเฉลยชุดเดียว

[YOKEE]

จากสมการ เบื้องต้น 2 สมการ คือ [ A ] และ [ B ]
x+y-z = 1 [ A ]
y-2z+2w = 1 [ B ]
[ A ] + [ B ] ==> x+2y-3z+2w = 2 [ 1 ]
[ A ]*2+[ B ]*3 ==> 2x+5y-8z+6w = 5 [ 2 ]
[ A ] *3 + [ B ] ==> 3x+4y-5z+2w = 4
จะเห็นได้ว่า มี 2 สมการ แต่มี 4 ตัวแปร จึงมีชุดของคำตอบนับไม่ถ้วน

2. x+y-z =1
2x+3y+az=3
x+ay+3z = 2
จะได้ว่า x = 1
y = Z = 1/(a+3)
a มีค่าเท่าใด ก็ได้

[TSW]

เห็นคำตอบข้างบนแล้ว
ข้อ 1 พอรับได้
ข้อ 2 ดูแล้วแปลกๆ
ในโจทย์ประเภทนี้ควรเข้าใจว่าเมื่อไหร่คำตอบเป็นแบบไหน
ซึ่งมันจะเกี่ยวข้องกับ det ที่มีค่า 0

ข้อ 2
2.1 ไม่มีผลเฉลย เมื่อ a=-3
2.2 มีผลเฉลยอนันต์ชุด เมื่อ a=2
2.3 ผลเฉลยชุดเดียว เมื่อ a เป็นค่าอื่นๆ ที่ไม่ใช่ 2,-3
หมายเหตุ ค่า a=2,-3 ทำให้ det ของ matrix สัมประสิทธิ์เป็น 0
แต่ค่า 2 กับ -3 ให้ ผลต่างกัน

ตรวจสอบดู จะได้ดังนี้
x+y-z = 1 ....[1]
2x+3y+az = 3 ....[2]
x+ay+3z = 2 ....[3]

เอา [1]+[3] ได้
2x+(a+1)y+2z = 3
แทนค่า a=2 ในสมการข้างบนจะได้
2x+3y+2z = 3 ....[4]
แทนค่า a=2 ใน [2] จะได้
2x+3y+2z = 3 ....[2']
จะเห็นว่า [2']=[4]
หรือ [1]+[3] = [4] เมื่อ a=2
อันนี้มีคำตอบหลายชุด

เอา 3*[1]-[2] จะได้
x-(3+a)z = 3 ....[5]

เอา [2]+[3] จะได้
3x+(a+3)y+(a+3)z=5 ....[6]

แทนค่า a=-3 ใน [5] จะได้
x = 3 ....[5']
แทนค่า a=-3 ใน [6] จะได้
3x = 5 ....[6']
[5'] ขัดแย้งกับ [6'] ดังนั้นค่า a=-3 ทำให้ระบบไม่มีคำตอบ

การที่จะบอกว่าระบบสมการหลายตัวแปรนั้น มีคำตอบสมการแบบใด ผมขอแนะนำให้ Check rank อย่างเดียวนะครับ การที่จะใช้วิธี Check แบบตัวอย่างข้างบน ระวังอาจารย์มหาลัยเขาจะไม่ให้คะแนนนะ มันวิธี ม. ปลายเกินไปหน่อยนะ