แนวข้อสอบเข้าเตรียมอุดม

[jabza]

กำหนด a,b,c,dและe เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันทั้งหมดซึ่งทำให้ 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e =1 จงหาa+b+c+d+e =เท่าไหร่ (คำตอบ=71)

[Amankris]

ไม่ได้มีคำตอบเดียวครับ

[jabza]

พี่Amankris. ช่วยกรุณาชี้แนะส้กคำตอบหนึ่ง หรือใครก็ได้ช่วยHint.ข้อนี้หน่อยคับ.

[Puriwatt]

$1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{54}$

$1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}$
...
แนวคิดแบบที่1
$\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1+2}{6} = \frac{1}{3}+\frac{1}{6}$

กระจายได้เรื่อยๆ ลองพิจารณาดูครับ

แนวคิดแบบที่2
$1 = \frac{30}{30} = \frac{1+3+5+6+15}{30} = \frac{1}{30}+\frac{1}{10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{2}$
ตัวประกอบของ 30 มี 8 ตัว คือ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 เลือกมา 5 ตัวที่ผลรวมได้ 30 ครับ

[gon]

ถ้าอยากได้คำตอบทั้งหมดที่เป็นไปได้ ลองเอาแนวคิดข้อที่ง่ายกว่านี้ไปคิดนะครับ

ทำได้ครับ แต่มันเยอะ ต้องไล่กรณี

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ โดยที่ $a,b, c$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ต่างกันหมด

ให้ $a < b < c $ จะได้ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > \frac{1}{c}$

ดังนั้น $\frac{3}{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{3}{a}$

นั่นคือ $\frac{3}{c} < 1 < \frac{3}{a}$

แสดงว่า $a < 3$

ดังนั้น $a = 1, 2$ เห็นชัดว่า $a \ne 1$

แสดว่า $a = 2$ เท่านั้น

แทนลงในสมการแรกจะได้ $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$

ทำนองเดียวกัน จะได้ $\frac{2}{c} < \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{2}{b}$

$\frac{2}{c} < \frac{1}{2} < \frac{2}{b}$

แสดงว่า $b < 4$

แต่ว่า $b > a$ ดังนั้น $b = 3$ เท่านั้น

แทนค่า จะได้ $c = 6$

ดังนั้น $(a, b, c) = (2, 3, 6)$

ถ้าเป็นข้อนี้ มันจะต้องพิจารณา $a$ หลายค่าที่เป็นไปได้ และในแต่ละค่าจะมี $b$ หลายค่าที่เป็นไปได้

ถ้าสนใจจะแก้จริง ๆ ก็ต้องยอมเหนื่อย นั่งแทนค่าไล่ไปเรื่อย ๆ ไม่นาน (หรือเปล่า) ก็ครบทุกค่าครับ

[jabza]

ขอขอบคุณพี่ Puriwatt และ พี่Gon. ผมเข้าใจแจ่มแจ้งแล้วคับ.