เกี่ยวกับ เลขยกกำลัง ใคร มากกว่า ใคร

[Dr.K]

มีคนมาถามว่า 2 ยกกำลัง 30 กะ 3 ยกกำลัง 20 ใครมากกว่า
ก็ตอบไปว่า มัน คือ 8 ยกกำลัง 10 กะ 9 ยกกำลัง 10 ไง ฉะนั้น 2 ยกกำลัง 30 ก็เลย น้อยกว่า
นอนไปคิดไป สงสัย (ขอท่านผู้รู้ช่วยวิเคราะห์ทีเถอะ)ว่า
0 ยกกำลัง1 กะ 1 ยกกำลัง 0 --- ก็คือ ศูนย์ น้อยกว่า หนึ่ง
1 ยกกำลัง 2 กะ 2 ยกกำลัง1 ---ก็คือ หนึ่ง น้อยกว่า สอง
2ยกกำลัง 3 กะ 3 ยกกำลัง 2 แปด น้อยกว่า เก้า
3 ยกกำลัง 4 กะ 4 ยกกำลัง 3 --ก็คือ แปดสิบเอ็ด มากกว่า หกสิบสี่
4 ยกกำลัง 5 กะ 5 ยกกำลัง 4 --ก็คือ 1,024 ก็มากกว่า 625
5 ยกกำลัง 6 กะ 6 ยกกำลัง 5 ก็คงเช่นกัน กระมัง
99 ยกกำลัง 100 ก็น่าจะมากกว่า 100 ยกกำลัง 99
ที่สงสัย คือข้อแรก. ทำไม มันเกิด การเปลี่ยนแปลง ตรง บรรทัดที่ว่า 2 ยกกำลัง3 ไปสู่บรรทัด 3 ยกกำลัง4
ข้อสอง.แล้วถ้า 1 ยกกำลัง3 กะ 3 ยกกำลัง 1
2 ยกกำลัง4 กะ 4 ยกกำลัง 2
3 ยกกำลัง 5 กะ 5 ยกกำลัง3
อธิบาย เด็ก ว่ายังไง หละครับ เช่น เขาแกล้งถามว่า 100 ยกกำลัง 102 กับ 102 ยกกำลัง 100 ใครมากกว่า เหรอ?

[t.B.]

จริงๆแล้วผมว่าไม่ใช่เรื่องแปลกอะไรที่จะเกิดการเปลี่ยนแปลง เพราะกราฟ expro เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มซึ่งไม่ได้เพิ่มเท่ากันตลอดทุกค่า n พิจารณาการเพิ่มของ $f(x)=n^x$ในช่วง $n\in I^{+}-{1}$ แล้วละก็ ค่า y มันพุ่งสูงขึ้นตามค่า x และ เมื่อ n ยิ่งมาก ค่า y ก็ยิ่งเพิ่มเป็นทวีคูณ ซึ่งในแต่ละค่า n มันก็จะเพิ่มด้วยค่าที่ไม่เท่ากัน ส่วนคำถามที่ว่า

อธิบาย เด็ก ว่ายังไง หละครับ เช่น เขาแกล้งถามว่า 100 ยกกำลัง 102 กับ 102 ยกกำลัง 100 ใครมากกว่า เหรอ?

ก็คงต้องบอกเด็กว่าให้ take log แล้วหา Mantissa กับ Characteristic ทำให้เขียนอยู่ในรูป $N\times 10^{n} ; 1\leq N\leq 10 , n\in I $ได้ ทีนี้คงเปรียบเทียบได้ไม่อยาก

[nooonuii]

คำอธิบายนั้นมีอยู่ แต่จะอธิบายให้เด็กๆฟังนั้นคงยากเกินไปกระมังครับ
แต่ถ้าจะยกสูตรต่อไปนี้ให้เด็กๆดู เขาก็คงจดจำไว้ใช้ประโยชน์ได้บ้าง

สำหรับ $n\geq 3$ เราจะได้

1) $n^{n+1}> (n+1)^n$

2) $n^{n+2} > (n+2)^n$

3) $n^{n+k}> (n+k)^n$ ทุกจำนวนนับ $k$

และ อื่นๆอีกมากมาย

<< บทพิสูจน์ที่เด็กๆอาจจะอ่านไม่รู้เรื่อง >>

พิจารณาฟังก์ชัน $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ ในช่วง $(0,\infty)$
โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะได้ว่า $f$ มีค่าสูงสุดที่ $x=e$ ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง $2$ กับ $3$
ดังนั้น $f$ จะเป็นฟังก์ชันลดในช่วง $[e,\infty)$
ซึ่งหมายความว่า ถ้า $x\leq y$ แล้ว $f(x)\geq f(y)$ หรือ $x^y \geq y^x$
ในขณะเดียวกัน $f$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $(0,e]$
ซึ่งเราจะได้อสมการที่ตรงข้ามกันกับอสมการข้างบน
นี่คือสาเหตุว่าทำไมอสมการจึงเปลี่ยนข้างกันเมื่อ $n$ เปลี่ยนจาก $2$ ไปเป็น $3$ ครับ
สรุป

ถ้า $x\leq y$ แล้ว $x^y\leq y^x$ ทุก $x,y\in (0,e]$

ถ้า $x\leq y$ แล้ว $x^y \geq y^x$ ทุก $x,y\in [e,\infty)$

[kanakon]

เผื่อไม่เห็นภาพ

[t.B.]

โอ้ว ขอบคุณพี่ nooonuii มาก ที่ทำให้ผมได้ความรูใหม่ อย่างน้อยก็มีเด็กคนนี้คนหนึ่งแหละที่จะจำไว้ใช้ประโยชน์

[Dr.K]

นั่นหละครับ ที่เด็กประถม ทั้งหลาย จะมอง สถานการณ์ ที่ลึกซึ้ง ได้กัน
การสังเกต เป็นสิ่งที่เราอยากให้เด็กๆ ได้ ลอง และ กล้า ที่จะทำ ครับ