คำถามสำหรับ Mathcenter Contest Round 1/2010

[nongtum]

ขอลงโจทย์เร็วกว่ากำหนดประมาณหนึ่งชั่วโมงนะครับ

ก่อนอื่นผมขออภัยด้วยครับ หากโจทย์คราวนี้อาจจะยากหรือง่ายไม่เหมือนรอบก่อนๆหน้าครับ โจทย์ทั้งหมดเลือกจากตัวเลือกเท่าๆที่มีการเสนอมาแล้วครับ
ผมจะประกาศโจทย์พิเศษอีกครั้งภายในวันศุกร์นี้ครับ (บังเอิญทำโจทย์ไม่ทันครับ ขออภัยด้วย)

หากมีข้อสงสัยหรือสอบถามเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึง 22:30 น. วันศุกร์ที่ 29 มกราคม 2553 ครับ

โอลิมปิก

คะแนนเต็มสูงสุด 30 คะแนน
โจทย์ทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน และเสนอโดยคุณ tatari/nightmare

1. ให้ $a,b,c\in\mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่าถ้ามีพหุนาม $P,Q,R\in\mathbb{C}[x]$ ซึ่งไม่มีตัวประกอบร่วมกันและสอดคล้องสมการ $$P^a+Q^b=R^c$$แล้ว $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1$

2. กำหนด $k$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $k>1$ และ $0\leq d<9$ จงพิสูจน์ว่าจะมีจำนวนนับ $n$ ซึ่งเลขโดดในตำแหน่งที $k$(นับจากขวา) ของ $2^n$ คือ $d$

3. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่ $B$ วงกลมแนบในสามเหลี่ยมสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่จุด $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $CF$ ตัดวงกลมแนบในที่จุด $P$ ถ้า $\angle APB=90^{\circ}$ จงหาค่าของ $\dfrac{CP+CD}{PF}$

4. กำหนด $P$ เป็นระนาบ จงพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชัน $f :P\rightarrow P$ โดยที่สำหรับรูปสี่เหลี่ยมนูน $ABCD$ ใดๆ จุด $f(A),f(B),f(C),f(D)$ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมเว้า

5. เซต $X$ ของจำนวนนับจะเรียกว่า "ดี" ถ้าสำหรับแต่ละคู่ $a,b\in X$ มีจำนวนเพียงตัวเดียวจาก $a+b,\mid a-b\mid$ เป็นสมาชิกของ $X$($a,b$ อาจเท่ากันได้)
จงหาจำนวนเซตดีทั้งหมดที่มี $2008$ เป็นสมาชิก

6. จงหา $a\in\mathbb{N}$ ทุกตัวที่ทำให้มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง $g :\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ และฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ที่ทำให้สำหรับทุก $x\in\mathbb{N}$
$$f(f(f(...f(x)))...)=g(x)+a$$ โดยที่มี $f$ ปรากฏทั้งหมด $2009$ ครั้ง

มัธยมปลาย

คะแนนเต็มสูงสุด 14 คะแนน

1. (4 คะแนน) กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ $$\sqrt{x^2-70x+1234}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-30y+666}$$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

2. (5 คะแนน) กำหนด $n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $$\frac{(n-1)!+n!+(n+1)!}{(n+1)!+(n+2)!-6n!}=\frac{2}{n}$$และให้ $f(x)=x^2-1$ และ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{f(n)+f(n+1)}{(f(n))^2+(f(n+1))^2}}$ โดย $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$
จงหาค่าของ $\theta$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

3. (5 คะแนน)

กำหนดให้ $P\hat QR=90^{\circ}$ และ $PQ=QR_1=1$ และ $PR_{k-1}=QR_k$ สำหรับ $k=2,3,4,...,n$
ให้ $[\Delta PQR_n]$ แทนพื้นที่ของ $\Delta PQR_n$
$$A=\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{[\Delta PQR_{k-1}]+[\Delta PQR_k]}$$
จงหาค่าของ $\sin \theta$ เมื่อ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{A+2}{3}}$ (ตอบในรูปส่วนไม่ติดราก)
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

มัธยมต้น

คะแนนเต็มสูงสุด 12 คะแนน

1. (4 คะแนน) ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $2555(3^x)-2012(3^y)=16959$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2-y^2}$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

2. (4 คะแนน) จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2+2x+y^2-y-xy-2=0$ ในระบบจำนวนเต็ม
(เสนอโดยคุณ -SIL-)

3. (4 คะแนน) ให้ $$a_n=\frac{2552^n}{2552^{2n+1}-2552^{n+1}-2552^n+1}$$
จงแสดงว่า $a_1+a_2+a_3+....+a_{2552}<1$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

ประถมปลาย

คะแนนเต็มสูงสุด 9 คะแนน

1. (2 คะแนน) จงหาค่าของ $$\frac{(1\times3\times6)+(2\times6\times12)+\cdots+(2010\times6030\times12060)}{(1\times2\times3)+(2\times4\times6)+\cdots+(201 0\times4020\times6030)}$$
(เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง)

3. (3 คะแนน) มีนาฬิกาทราย 2 ชนิด คือ ชนิด 7 นาที และชนิด 13 นาที จงหาวิธีการบอกเวลา 3 นาทีจากการใช้นาฬิกาทรายทั้ง 2 นี้
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

3. (4 คะแนน) จงหาจำนวนนับ $n$ ที่มากกว่า 2222 ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $$\frac{n-2010}{2},\frac{n-2010}{3},\frac{n-2010}{4},\dots,\frac{n-2010}{2553}$$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำทุกจำนวน
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

[-InnoXenT-]

ข้อ 3 มัธยมปลาย

ให้หาผลรวมตั้งแต่ k = 2 ถึง n เหรอครับ - -" มันแปลกๆนะ

[nongtum]

#2
ใช่ครับ เพราะเช็คจากแนวคิดและคำตอบที่ส่งมาเป็นเช่นนั้น
แต่ถ้าทำแล้วปรากฎว่าได้คำตอบไม่สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่รู้กันโดยทั่วไปไม่ว่่าอะไรก็ตาม ก็ตอบมาได้เช่นกันครับ ถ้าถูกก็มีคะแนนเต็มให้เช่นกัน

[banker]

ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

คงไม่จริงมั๊ง

Mathcenter Contest คราวนี้ พิมพ์สัญญลักษณ์ถูกต้องเป๊ะๆ ยังทำไม่ได้ ไม่เห็นง่ายขึ้นเลย

[nongtum]

#4
เอ่อ... แล้วผมพิมพ์ผิดตรงไหนหรือครับ... อีกอย่างผมว่านอกจากโจทย์โอลิมปิกแล้ว ทุกระดับโจทย์ไม่ได้ยากมากนะัครับ

อีกอย่าง การส่งคำตอบ อาจส่งมาเป็นไฟล์ภาพแล้วมาแปะในกระทู้ของตัวเองก็ได้นะครับ
เราไม่ได้จำกัดว่าต้องพิมพ์ตอบอย่างเดียว เพียงแต่พิมพ์ตอบแล้วมันอ่านง่ายแก้ง่ายกว่าเท่านั้นเองครับ

[banker]

คุณnongtumไม่ได้พิมพ์ผิดตรงไหน

ผมแซวเล่นเท่านั้น ว่า แม้พิมพ์สัญญลักษณ์ถูกต้องเป๊ะๆ ก็ไม่ทำให้คำถามMathcenter Contestง่ายขึ้น

[nongtum]

แหมๆ ขอบคุณที่ feedback กลับมาครับ ผมก็เดาๆไว้อยู่แหละว่า่ล้อเล่น...
แต่ระดับคุณ banker น่าจะตอบคำถามระดับม.ต้น กับป.ปลายรอบนี้ได้สบายๆแล้วล่ะครับ

[Prince']

พี่คับ ข้อ 1,2,3 ทำไงอ่ะคับ บอกที !

ของประถมนะคับๆ

[หยินหยาง]

โจทย์โอลิมปิกดูแล้วคุ้นๆ .... เล่นซะอย่างงี้เลยหรือ