ข้อสอบ สอวน2550 รอบ 2 ออกแล้วครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

จาก $a^3+(-b)^3+(-c)^3=3a(-b)(-c)$ จะแจงได้สองกรณีดังนี้
Case1: $a=b+c$ ในกรณีนี้จะได้ $a^2=2a$ ดังนั้น $a=2,\ b=c=1$ แต่เมื่อแทนค่ากลับพบว่าไม่สอดคล้อง
Case2: $a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc=0$ ผมยังไม่ได้ทด แต่แนวคิดคือพยายามเขียนเทอมที่มี $b$ และ/หรือ $c$ ให้อยู่ในเทอมของ $a$ เพื่อแก้หา $a$ ก่อนพิจารณาค่า $b,c$

ผมขออนุญาตทำต่อใน case 2 ครับ จาก $a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc=0$ คูณ 2 ทั้งสองข้าง แล้วจัดรูปจะได้
$(a+b)^2+(b-c)^2+(c+a)^2=0$ ดังนั้น $a=-b, b=c, c=-a$ เอาไปแทนอีกเงื่อนไขหนึ่งจะได้ $b^2=2b \Rightarrow b=0,2$ ลองแก้สมการจะพบว่า ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ผมขออนุญาตทำต่อใน case 2 ครับ จาก $a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc=0$ คูณ 2 ทั้งสองข้าง แล้วจัดรูปจะได้
$(a+b)^2+(b-c)^2+(c+a)^2=0$ ดังนั้น $a=-b, b=c, c=-a$ เอาไปแทนอีกเงื่อนไขหนึ่งจะได้ $b^2=2b \Rightarrow b=0,2$ ลองแก้สมการหาจะได้ว่ามีคำตอบชุดเดียวคือ $a=b=c=0$

แต่โจทย์บอกให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวกนะครับ

[M@gpie]

อ้อ งั้นแสดงว่า กรณีที่สองก็ไม่มีคำตอบครับ แหะๆๆ แก้ไขแล้วครับ

[nongtum]

Plane Geometry

4. แนวการสร้างรูปเป็นดังนี้

1. สร้างมุม $90^\circ-\hat{A}/2$ เก็บไว้ก่อน
2. ลาก FC ให้ยาวกว่า BC+(AC-AB) แล้วสร้างมุม FCD ให้เท่ากับมุมที่สร้างเก็บไว้ตอนแรก (ลาก CD ยาวๆหน่อย)
3. กางวงเวียนรัศมี AC-AB ใช้ C เป็นจุดศูนย์กลาง เพื่อสร้าง B'C บน CD
4. ลาก BE ขนานกับ FC (ลากยาวๆเผื่อไว้เช่นกัน) แล้วใช้ C เป็นจุดศูนย์กลาง กางวงเวียนรัศมี BC ตัด B'E ที่จุด B แล้วลาก BC
5. สร้างมุม B'BC' ให้เท่ากับมุม BB'C โดยที่จุด C' อยู่บน FC แล้วต่อ C'B ไปตัด CD ที่ A
   
   เราก็จะได้สามเหลี่ยม ABC ตามที่ต้องการ

แนวการพิสูจน์: แสดงว่า $\triangle{ABB'}\sim\triangle{ACC'}$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดเท่ากับมุม A ที่กำหนดให้ แล้วค่อยเก็บตกข้อมูลที่เหลือ

[nongtum]

Plane Geometry

5. ข้อนี้ขอสแกนกับวาดรูปละกัน น่าจะเข้าใจง่ายกว่า ผมเพิ่มความยาวแต่ละด้านเป็นสองเท่า แต่หลักการเหมือนเดิมครับ
หมายเหตุ: [X]=พื้นที่ของ X

[kongp]

แหมเรียนอะไรกันอยู่ครับ มีเวลาทำเฉลย จบด้านคณิตศาสตร์กันใช่มั้ยครับเนี่ย