Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 08 กุมภาพันธ์ 2017, 11:53
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default ช่วยอสมการข้อนี้หน่อยครับ

ให้ $a, b, c$ เป็นจำนวนบวก แล้วจงพิสูจน์ว่า $\frac{a^3}{(a+b)^3} + \frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geqslant \frac{3}{8} $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 14 กุมภาพันธ์ 2017, 20:46
MathBlood's MathBlood's ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กันยายน 2015
ข้อความ: 34
MathBlood's is on a distinguished road
Default

โดยไม่เสียสาระสำคัญ ไห้ $a\geqslant b\geqslant c ได้เป็น 2a\geqslant a+b \rightarrow 8a^3\geqslant (a+b)^3 \rightarrow a^3/{(a+b)}^3\geqslant 1/8 $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 14 กุมภาพันธ์ 2017, 23:35
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's View Post
โดยไม่เสียสาระสำคัญ ไห้ $a\geqslant b\geqslant c ได้เป็น 2a\geqslant a+b \rightarrow 8a^3\geqslant (a+b)^3 \rightarrow a^3/{(a+b)}^3\geqslant 1/8 $
สำหรับ $f(a,b,c)=(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3$

$f$ มันไม่ sym นิครับ มันสมมติให้เรียง 3 ค่าทีเดียวไม่ได้ แบบ $a \geq b \geq c$ แบบนี้ไม่ได้

อย่าง $f(a,b,c)$ มีค่าไม่เท่ากับ $f(b,a,c)$ จะสมมติแบบ sym ได้ value ของ function

มันต้องเท่ากันทุก $f(a,b,c),f(b,a,c),...$ ทุกๆการเรียงสับเปลี่ยนของ $(a,b,c)$ สิครับ

ซึ่ง มีได้ $3!$ จริงมั้ย...?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 15 กุมภาพันธ์ 2017, 15:44
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ใช้ power mean แล้วพิสูจน์อันนี้แทน

$$
\frac{a^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2}{(b+c)^2} + \frac{c^2}{(c+a)^2} \geqslant \frac{3}{4}
$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 15 กุมภาพันธ์ 2017, 20:41
MathBlood's MathBlood's ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กันยายน 2015
ข้อความ: 34
MathBlood's is on a distinguished road
Default

ดูเร็วไปครับ ลืม แหะๆ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 15 กุมภาพันธ์ 2017, 21:26
MathBlood's MathBlood's ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กันยายน 2015
ข้อความ: 34
MathBlood's is on a distinguished road
Default

AM-GM ครับ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}{\geqslant 1/8} $ และก็จากAM-GM อีก ก็ได้เท่ากับก้อนนั่นครับ

15 กุมภาพันธ์ 2017 21:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ MathBlood's
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 15 กุมภาพันธ์ 2017, 22:15
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's View Post
AM-GM ครับ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}{\geqslant 1/8} $ และก็จากAM-GM อีก ก็ได้เท่ากับก้อนนั่นครับ
ยังไงนะ...?

ที่พิมพ์มามันกลับข้างนิครับ

------------------------------------------------------------

ปล.ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ ไอเดียเรียบง่ายและสวยมากเลย

ผมคิดไปไกลถึงเอกลักษณ์แปลกๆ sos เทือกๆนั้น กลายเป็นถึกไปเลย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 16 กุมภาพันธ์ 2017, 19:45
MathBlood's MathBlood's ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กันยายน 2015
ข้อความ: 34
MathBlood's is on a distinguished road
Default

ไม่กลับ นิครับ?
__________________
เวลามีน้อยใช้สอยอย่างประหยัด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 16 กุมภาพันธ์ 2017, 20:57
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's View Post
AM-GM ครับ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}{\geqslant 1/8} $ และก็จากAM-GM อีก ก็ได้เท่ากับก้อนนั่นครับ
ดูดีๆสิ ใจเย็นๆ

$\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{1}{8}$

คูณไขว้

$8abc \geq (a+b)(b+c)(c+a)$

...กลับนะ...

ปล.โจทย์ข้อนี้ไม่ง่ายนะครับ ดูดีๆ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 16 กุมภาพันธ์ 2017, 21:04
MathBlood's MathBlood's ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กันยายน 2015
ข้อความ: 34
MathBlood's is on a distinguished road
Default

$a^3/{(a+c)}^3+b^3/{(b+c)}^3+c^3/{(c+a)}^3\geqslant 3abc/(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 3/8 $ ไม่ได้หรอครับ
__________________
เวลามีน้อยใช้สอยอย่างประหยัด

16 กุมภาพันธ์ 2017 21:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ MathBlood's
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 16 กุมภาพันธ์ 2017, 21:22
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's View Post
$a^3/{(a+c)}^3+b^3/{(b+c)}^3+c^3/{(c+a)}^3\geqslant 3abc/(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 3/8 $ ไม่ได้หรอครับ
พิมพ์เศษส่วนพิมพ์แบบนี้ครับ \frac{}{} ปีกกาแรกเป็นเศษ ปีกกาหลังเป็นส่วน

สำหรับเครื่องหมายอสมการ ถ้าขี้เกียจพิมพ์คำว่า \geqslant พิมพ์แค่ \geq ก็พอครับ

ส่วนที่ถามมา ลองดูดีๆสิครับ

$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(c+a)^3} \geq \frac{3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{3}{8}$

อสมการคู่ขวาสุดอะครับ มันกลับข้าง เพราะมันได้เป็น $8abc \geq (a+b)(b+c)(c+a)$

ซึ่งจริงๆแล้ว $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ ถึงจะถูกครับ

ถ้าทำไปทำมาแบบนี้แล้วได้อสมการกลับข้าง ถือว่าผลลัพธ์ที่เราได้มามันหลุดขอบของอสมการ

เรียกกันสั้นๆว่า Bound เกินนั่นแหละครับ หมายความว่า เราบีบอสมการได้ไม่ sharp พอ

ไม่ดีพอนั่นเอง คล้ายๆกับว่า โจทย์ให้พิสูจน์ $5 \geq 4$ แล้วทำไปทำมาได้ $5 > 3$

จากนั้นไปสรุปว่า $3 \geq 4$ ซึ่งกลับด้าน หมายความว่า 3 หรือค่า Bound 3 ที่ได้มา

มีความ sharp ไม่สู้อสมการที่โจทย์อยากได้คือ $5 \geq 4$ แต่ถ้าหากทำดี หรือ sharp พอ

ได้เป็น $5 > 4.5$ แล้วสรุปว่า $ 4.5 \geq 3$ แบบนี้ถึงจะถูกครับ ก็เลยได้ $5 > 4.5 \geq 3$ ด้วย

มันเป็นเรื่องของความ sharp ของอสมการครับ ตรงนี้ต้องระวัง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 16 กุมภาพันธ์ 2017, 21:33
MathBlood's MathBlood's ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กันยายน 2015
ข้อความ: 34
MathBlood's is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากๆๆครับ ผมยังไม่ค่อยเก่งเท่าใหร่ สงสัยทำเร็วไป ไช่กลับข้างจริงๆด้วย
__________________
เวลามีน้อยใช้สอยอย่างประหยัด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:07


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha