Calculus Marathon (2)

[nongtum]

กระทู้เก่าใกล้จะล่มแล้ว ดังนั้นมา่ลุยกันต่อที่กระทู้นี้โลด

67. Let $f:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ be an increasing function with the property that there exists $a\in(0,1)$ so that $$\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^{ax} f(t)\,dt,\quad\forall\,x\in[0,\infty).$$ Prove that $f(x)=0$. for any $x\in(0,\infty)$

แก้ไข: ดูโจทย์เวอร์ชันก่อนแก้และตัวอย่างค้านก่อนแก้โจทย์ที่ความคิดเห็นคุณ warut ด้านล่าง

[M@gpie]

ยังไม่แน่ใจการพิสูจน์เท่าไรอ่ะครับ เพราะงงๆ ว่าไม่ต้องใช้คุณสมบัติของ increasing function ก็สรุปได้??
จากโจทย์จะได้ว่า
เนื่องจาก \[ \int_0^x f(t)dt = \int_0^{ax} f(t)dt \Rightarrow \int_{ax}^{x}f(t)dt = 0 ,\;\; \forall x\in [0,\infty)\]
แต่ $f(x)\geq 0, \; \; \forall x \in [0,\infty ) $ จะได้ว่า $\displaystyle{\int_{ax}^{x}f(x)\geq 0, \; \; \forall x \in [0,\infty )} $
แต่โจทย์บอกว่า $0 = \displaystyle{\int_{ax}^{x}f(t)dt\geq 0, \; \; \forall x \in [0,\infty )} $ จึงได้ว่า $ \displaystyle{\int_{ax}^{x} f(t)dt = 0 \Rightarrow f(t) = 0, \;\; \forall x\in [0, \infty)}$


ป.ล. increasing ในที่นี่ ใช้ $x\geq y \Rightarrow f(x)\geq f(y)$ หรือว่า $x > y \Rightarrow f(x)> f(y)$ แบบไหนครับ

68. เราแสดงได้ไม่ยากว่า $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x} = e $ ได้ดังนี้
\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; x>0 & ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
\ln (\lim_{x \rightarrow \infty} y) &=& 1 & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(5)
\end{array}\]
ปล. แก้ไขให้แล้ว ขออภัยครับ แหะๆๆ

แต่ว่าการพิสูจน์นี้ผิด !!! บรรทัดไหน อย่างไร?

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
แต่โจทย์บอกว่า $0 = \displaystyle{\int_{ax}^{x}f(t)dt\geq 0, \; \; \forall x \in [0,\infty )} $ จึงได้ว่า $ \displaystyle{\int_{ax}^{x} f(t)dt = 0 \Rightarrow f(t) = 0, \;\; \forall x\in [0, \infty)}$

ไม่จริงครับ เช่น $$ f(x)= \cases{1 & ,x=0 \\ 0 & ,x>0}$$ ก็มีสมบัติดังกล่าวเช่นกัน

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:

68. เราแสดงได้ไม่ยากว่า $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x} = e $ ได้ดังนี้
\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x} & ..........(1)\\
\ln \mid y\mid &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln \mid y \mid } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
\ln (\lim_{x \rightarrow \infty} y) &=& 1 & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(5)
\end{array}\]

จาก (1) สมมติให้ y อยู่ในเทอมลิมิตของ x แล้ว (2) ใส่ ln ไปแล้ว ลิมิตที่ x หายไป ?

[M@gpie]

แอ่ว งั้น ขอไปคิดข้อ 67. ใหม่นะครับแหะๆๆ
จากตัวอย่างพี่นี่แสดงว่า $f$ ต้องเป็น Strinctly increasing function สิครับ ??

ส่วนน้อง Mastermander ยังไม่ถูกครับ ในที่นี้ถือว่า $y$ ขึ้นกับ $x$ โดยไม่ได้เขียน บรรทัดไหนเอ่ย ??

[nongtum]

increasing function ในข้อ 67 ไม่ strict ครับ เพราะไม่งั้นเราจะสรุปตอนท้ายไม่ได้ว่า $f\equiv0$
Hint: เปลี่ยนตัวแปรทางขวามือของสมการเพื่อดึง a ออก

[M@gpie]

ถ้าให้ $f(x)= 1, x\geq 0 \Rightarrow f(ax)<f(x) $ ก็ไม่เป็นจริงหนิครับ??

[nongtum]

สงสัยผมแก้ช้าไปนิด อย่างที่บอกครับว่า $f$ ไม่ strict increasing

ข้อ 67 ทำได้สองแบบ หากไม่ทำแบบที่ผมใบ้ด้านบน ก็อาจจะแสดงว่า เพราะ f integrable หาก $$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt,\quad x\in[0,\infty)$$ แล้ว $$F(x)=\lim_{n\to\infty}F(a^nx)$$ ก็ได้

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
67. Let $f:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ be an increasing function with the property that there exists $a\in(0,1)$ so that $$\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^{ax} f(t)\,dt,\quad\forall\,x\in[0,\infty).$$ Prove that $f(x)=0$. for any $x\in[0,\infty)$

จะเห็นว่าคำว่า "increasing function" ในที่นี้ต้องหมายถึง monotonic increasing function เพราะมิฉะนั้น $f(x)=0$ จะไม่สามารถเป็นคำตอบได้น่ะครับ (คำว่า "increasing function" มีได้ 2 ความหมาย บางคนก็หมายถึง monotonic increasing บางคนก็หมายถึง strictly increasing ตัวผมเองจึงตัดปัญหาโดยเขียนให้ชัดเจนลงไปทุกครั้งว่าเป็นอันไหนซะเลย)

แต่ว่าข้อความในข้อ 67. ไม่เป็นจริงครับ ยกตัวอย่างเช่น $$f(x)= \cases{-1 & ,x=0 \\ 0 & ,x>0}$$ ก็มีคุณสมบัติสอดคล้องตามที่ต้องการเช่นกันครับ

[nongtum]

วิธีที่คุณ warut ทำมา่เิรียบง่ายดีครับ แม้จะไม่ตรงกับวิธีในเฉลยที่ผมมีก็ตาม (deleted)

สังเกตว่าหากเปลี่ยน $f$ เป็น (non-strict) decreasing function คำตอบที่ได้ก็ยังเหมือนเดิม เพียงแต่โดยทั่วไป $f(0)\ne0$ ซึ่งผมจะได้พิมพ์ขยายความอีกรอบพร้อมเฉลยทั้งสองแบบสุดสัปดาห์นี้ครับ เผื่อจะช่วยให้มีไอเดียตอบคำถามข้อ 79 ของผมในกระทู้ถูกผิดมาราธอนได้ครับ

แก้ไข: เจอตัวอย่างค้านเข้าไปถึงกระอัก แต่ยังไงๆมีเวลา่ผมก็จะลงแนวคิดของเขาให้ดูล่ะครับ จะได้ช่วยกันดูเลยว่าเขาพลาดตรงไหน

[warut]

ขออภัยเป็นอย่างสูงครับ คือผมลบการพิสูจน์ (ที่ผิด) ของผมอันนั้นทิ้งไปเลย เดี๋ยวใครมาอ่านที่คุณ nongtum เขียนแล้วจะงง

คือหลังจากแปะการพิสูจน์อันนั้น ผมก็เจอที่ผิด หลังจากพยายามปรับปรุงแก้ไขการพิสูจน์ จึงพบว่าปัญหาจริงๆแล้วอยู่ที่ตัวโจทย์ ทำให้ผมสร้างตัวอย่างค้านอันดังกล่าวขึ้นมาได้ ผมเลยลบการพิสูจน์ทิ้งไป สวนกับที่คุณ nongtum ตอบมาพอดีครับ

ถ้าแก้โจทย์เป็น "Prove that $f(x)=0$. for any $x\in(0,\infty)$." ก็ใช้ได้แล้วครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
68. เราแสดงได้ไม่ยากว่า $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x} = e $ ได้ดังนี้
\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x} & ..........(1)\\
\ln \mid y\mid &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln \mid y \mid } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
\ln (\lim_{x \rightarrow \infty} y) &=& 1 & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(5)
\end{array}\]
แต่ว่าการพิสูจน์นี้ผิด !!! บรรทัดไหน อย่างไร?

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:

จาก (1) สมมติให้ y อยู่ในเทอมลิมิตของ x แล้ว (2) ใส่ ln ไปแล้ว ลิมิตที่ x หายไป ?

เห็นด้วยกับคุณ Mastermander ครับ มันผิดตั้งแต่บรรทัดที่ 2 แล้วล่ะ อยู่ดีๆ $\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}}$ ก็หายไป

อีกอย่างคือ $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}(1+\frac1x)^x}$ มันเป็นนิยามของ $e$ อยู่แล้วไม่ใช่เหรอครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
67. Let $f:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ be an increasing function with the property that there exists $a\in(0,1)$ so that $$\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^{ax} f(t)\,dt,\quad\forall\,x\in[0,\infty).$$ Prove that $f(x)=0$. for any $x\in(0,\infty)$

ผมพิสูจน์ โจทย์ข้อ 67. ฉบับแก้ไข โดยวิธีพื้นๆดังนี้ครับ

จากที่โจทย์ให้มา จะได้ว่า $$ \int_{ax}^x f(t)\,dt= \int_0^x f(t)\,dt- \int_0^{ax} f(t)\,dt=0, \quad \forall\,x\in[0,\infty) $$ จะเห็นว่าถ้า $f(x)=0$ สำหรับทุก $x>0$ แล้ว $f$ จะมีสมบัติสอดคล้องกับที่ต้องการ แต่ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่มี $x_0>0$ ที่ทำให้ $f(x_0)\ne0$ เราจะแยกพิจารณาเป็น 2 กรณีคือ

กรณีที่ 1: $f(x_0)>0$

เนื่องจาก $f$ เป็น monotonic increasing function บน $[0,\infty)$ ดังนั้น $f(x)>0$ สำหรับทุก $x\ge x_0$ และเราจึงได้ว่า $$\int_{a(x_0/a)}^{x_0/a} f(t)\,dt= \int_{x_0}^{x_0/a} f(t)\,dt >0$$ แสดงว่าในกรณีนี้ $f$ ไม่มีสมบัติตามที่ต้องการ

กรณีที่ 2: $f(x_0)<0$

เนื่องจาก $f$ เป็น monotonic increasing function บน $[0,\infty)$ ดังนั้น $f(x)<0$ สำหรับทุก $x\in[0,x_0]$ และเราจึงได้ว่า $$\int_{ax_0}^{x_0} f(t)\,dt<0$$ แสดงว่าในกรณีนี้ $f$ ไม่มีสมบัติตามที่ต้องการเช่นกันครับ

[M@gpie]

ขออภัยครับพี่ warut แล้วก็น้อง Mastermander ด้วย แก้ไขให้แล้วครับ
Hint : ผิดตรงที่ Existence ของลิมิต ในแต่ละขั้นตอนครับ !!!

[M@gpie]

เฉลยข้อ 68. ครับ เดี๋ยวกระทู้เดี้ยงไปซะก่อน คือจริงๆเป็นข้อผิดพลาดเล็กๆน้อยๆ ครับ ซึ่งถ้าไม่คิดมากเนี่ยก็ไม่มีปัญหาอะไร

\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; \; x>0& ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
\ln (\lim_{x \rightarrow \infty} y) &=& 1 & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(5)
\end{array}\]

จากวิธีทำนะครับ
ขั้นตอนที่ (1) สมมติ y ขึ้นมาถูกต้องไม่มีปัญหา
ขั้นตอนที่ (2) ใส่ $\ln$ ก็ไม่มีปัญหายังคงถูกต้อง
ขั้นตอนที่ (3) ใส่ ลิมิต ยังคงถูกต้องเพราะเราสามารถหาค่าลิมิตทางขวามือด้วยกฏของโลปิตาลได้
ขั้นตอนที่ (4) นี่แหละครับที่ผิด ถึงแม้ว่า $\ln$ จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง สามารถสลับลิมิตเข้าไปได้ แต่เพราะว่าเริ่มต้นเราเพียงสมมติให้ y เป็นฟังก์ชัน ซึ่งไม่ทราบว่ามีลิมิตรึเปล่า?? การสลับลิมิตเข้าไปไม่แน่ว่า y จะมีลิมิต ทำให้ขั้นตอนที่ (5) ก็ผิดไปด้วย
ที่ถูกต้องควรจะเป็นแบบนี้ครับ

\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; \; x>0& ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
e^{\lim_{x \rightarrow \infty}\ln y} &=& e & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\ln y} &=& e & ..........(5) \\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(6)
\end{array}\]

ในหนังสือส่วนใหญ่มักจะเขียนจาก (3) แล้วก็ไป (6) เลย แต่บางเล่มก็บอกเพียงว่าใช้ exponential function เท่านั้นแต่ไม่ได้พูดถึงจุดนี้ คงเพราะว่ามันรายละเอียดยิบย่อยเกินไป