Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > พีชคณิต
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 31 มีนาคม 2015, 16:47
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

6. จงหาฟังก์ชันจริงต่อเนื่อง $f$ ที่นิยามบนช่วง $[x, y]$ ที่ทำให้
$$t\cdot f(x)+(1-t)f(y)=f(tx+(1-t)y)$$
สำหรับทุกๆ $t\in [0, 1]$
หมายเหตุ : ห้ามอ้าง jensen ต้องใช้ความรู้พื้นฐานเท่านั้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 31 มีนาคม 2015, 18:43
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
แทน $x=y$ ได้ $f(0)=0$

แทน $f(x)=f(y)$ ได้ $x=y$ นั่นคือ $f$ เป็น $1-1$

แทน $y=0$ ได้ $f(f(x))=x$

ดังนั้น $f(x)=f^{-1}(x)$

เพราะว่ากราฟของ $y=f^{-1}(x)$ เกิดจากการสะท้อนกราฟ $y=f(x)$ โดยมีเส้นสะท้อนเป็นเส้น $y=x$

ดังนั้น จะได้ว่ากราฟทั้งสองจะตัดกันที่จุด $(k, k)$ สำหรับจำนวนจริง $k$ บางค่าเท่านั้น

นั่นคือ $f(x)=x$ ทุกค่า $x$ ซึ่งตรวจสอบได้ว่าเป็นคำตอบที่แท้จริง
ส่วนสีแดงผมว่าเหตุผลยังไม่พอนะครับ เช่น $f(x)=-x$ ก็มีสมบัติเดียวกัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 31 มีนาคม 2015, 19:32
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
นั่นคือ $f(x)=x$ ทุกค่า $x$ ซึ่งตรวจสอบได้ว่าเป็นคำตอบที่แท้จริง
แล้ว $f(x)=-x$ ละครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 31 มีนาคม 2015, 19:40
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
5. (PSU 2015) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน

$$
f(f(x)-f(y))=x-y
$$

สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{Q}$
ขอแก้มือนะครับตอนสอบคิดไม่ออก

$P(x,y) : f(f(x)-f(y))=x-y$ เพราะว่า f is a bijection แสดงได้ไม่ยากว่า $f(0)=0$

$P(-x,0) : f(f(-x))=-x=f(-f(x))$ ดังนั้น $f(-x)=-f(x)$

$P(f(x),f(-y)) : f(x+y)=f(x)+f(y)$ จะได้ว่า $f(x)=cx$

แทนค่ากลับ $f(x)=x,-x , \ \forall x \in \mathbb{Q}$
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

31 มีนาคม 2015 19:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 01 เมษายน 2015, 09:01
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
6. จงหาฟังก์ชันจริงต่อเนื่อง $f$ ที่นิยามบนช่วง $[x, y]$ ที่ทำให้
$$t\cdot f(x)+(1-t)f(y)=f(tx+(1-t)y)$$
สำหรับทุกๆ $t\in [0, 1]$
หมายเหตุ : ห้ามอ้าง jensen ต้องใช้ความรู้พื้นฐานเท่านั้น
สังเกตจุด $(x,f(x)),(\alpha x+\beta y,f(\alpha x+\beta y)),(y,f(y));\forall\alpha ,\beta \in \mathbb{R_0^+} \alpha+\beta=1$

เราได้ว่า $\alpha (x)+\beta (y)=\alpha x+\beta y$

และ $\alpha f(x)+\beta f(y)=f(\alpha x+\beta y)$

เราจะได้ว่า จุด $X(x,f(x)),Z(\alpha x+\beta y,f(\alpha x+\beta y)),Y(y,f(y))$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $\forall\alpha ,\beta \in \mathbb{R_0^+} \alpha+\beta=1$ โดยทำอัตราส่วน $XZ:ZY=\alpha :\beta$

ดังนั้นแล้ว $f(x)=ax+b;\forall x\in[x,y]\exists a,b\in\mathbb{R}$

7.มีฟังก์ชั่น $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ที่

$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3;\forall x\in\mathbb{R}$$ หรือไม่?
__________________
I'm Back

01 เมษายน 2015 09:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 01 เมษายน 2015, 12:16
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania View Post

7. มีฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ที่

$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3;\forall x\in\mathbb{R}$$ หรือไม่?
สมมติว่ามีฟังก์ชัน $f,g$ ที่มีสมบัติดังกล่าว

จะได้ว่า $f(x^3)=f(g(f(x)))=(f(x))^2$

เนื่องจาก $h(x)=x^3$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ต่อไปพิจารณา

$f(1)=(f(1))^2$

$f(0)=(f(0))^2$

$f(-1)=(f(-1))^2$

จะได้ว่า $f(-1),f(0),f(-1)\in\{0,1\}$

โดยหลักช่องนกพิราบจะมีสองค่าในบรรดาค่าของ $f(-1),f(0),f(-1)$ ที่มีค่าเท่ากัน

ซึ่งขัดแย้งกับสมบัติหนึ่งต่อหนึ่งของ $f$ ดังนั้นไม่มี $f,g$ ที่มีสมบัติดังกล่าว
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 01 เมษายน 2015, 12:18
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

8. จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ หรือไม่ซึ่งมีสมบัติว่า $f(f(x))=-x \text{ ทุกค่า } x\in\mathbb{R}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 01 เมษายน 2015, 13:12
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

8. เหลือเชื่อจริงๆ ครับว่ามี เราให้ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยมีสมบัติว่า

$f(0)=0,f(x)=-\frac{1}{x},\forall x\in\mathbb{R},0<|x|\leq 1$ และ $f(x)=\frac{1}{x}\forall x\in\mathbb{R},|x|>1$

เราจะได้ว่า

ถ้า $x=0\rightarrow f(f(0))=f(0)=0=-0$

ถ้า $0<|x|\leq 1\rightarrow f(f(x))=f(-\frac{1}{x})=-x$

และถ้า $|x|>1 \rightarrow f(f(x))=f(\frac{1}{x})=-x$

9.จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงฟังก์ชั่น $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$

$$f(z)+zf(1-z)=z+1;\forall z\in\mathbb{C}$$
__________________
I'm Back

01 เมษายน 2015 13:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 01 เมษายน 2015, 15:35
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

9. แนวนี้ง่ายมากๆ จาก
$$f(z)+zf(1-z)=z+1\textrm{_________________}(1)$$
เปลี่ยน $z$ เป็น $1-z$ จะได้ว่า
$$f(1-z)+(1-z)f(z)=2-z\textrm{____________}(2)$$
นำ $z$ ไปคูณสมการ $(2)$ จะได้เป็น
$$zf(1-z)+z(1-z)f(z)=z(2-z)\textrm{_______}(3)$$
นำ $(3)-(1)$ จะได้
$$\{z(1-z)-1\}f(z)=z(2-z)-z+1$$
คูณ $-1$ ทั้งสองข้างจะได้
$$(z^2-z+1)f(z)=z^2-3z-1$$
ซึ่งจะได้
$$f(z)=\frac{z^2-3z-1}{z^2-z+1}$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 01 เมษายน 2015, 15:39
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
$(z^2-z+1)f(z)=z^2-3z-1$
ซึ่งจะได้
$f(z)=\frac{z^2-3z-1}{z^2-z+1}$
$z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนนะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

01 เมษายน 2015 15:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 01 เมษายน 2015, 16:03
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

เป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ใช้คุณสมบัติทุกอย่างได้เหมือนจำนวนจริงนี่นา
เอาข้อ 10 ไปทำก่อนก็แล้วกัน
10. จงหา $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ ที่ทำให้
$$f(a)f(b)f(c)f(d)=f(a^2+b^2+c^2+d^2)$$

02 เมษายน 2015 17:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 01 เมษายน 2015, 17:04
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
เป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ใช้คุณสมบัติทุกอย่างได้เหมือนจำนวนจริงนี่นา
ผมว่าพื้นฐานคุณรั่วมาก ลองไปหาดูครับว่ามันเหมือนจำนวนจริงทุกอย่างหรือเปล่า
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 02 เมษายน 2015, 17:10
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ผมยังต้องเรียนรู้อีกเยอะครับ แต่ส่วนข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเท่าที่ผมหาเจอคือตัวส่วนต้องห้ามเป็น 0 ซึ่งจะเกิดเมื่อ $z^2-z+1=0$ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่มีนิยามที่ $\displaystyle{z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$ ดังนั้นฟังก์ชันที่ผมได้จึงไม่ใช้คำตอบที่แท้จริง ดังนั้นไม่มีฟังก์ชันที่สอดคล้องครับ

03 เมษายน 2015 16:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 02 เมษายน 2015, 22:11
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
ผมยังต้องเรียนรู้อีกเยอะครับ แต่ส่วนข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเท่าที่ผมหาเจอคือตัวส่วนต้องห้ามเป็น 0 ซึ่งจะเกิดเมื่อ $z^2-z+1=0$ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่มีนิยามที่ $\displaystyle{z=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}}$ ดังนั้นฟังก์ชันที่ผมได้จึงไม่ใช้คำตอบที่แท้จริง ดังนั้นไม่มีฟังก์ชันที่สอดคล้องครับ
คือว่ามีคิดเลขผิดด้วยอ่ะครับ ลองดูใหม่นะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 03 เมษายน 2015, 16:43
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

เจอแล้ว จุดที่ผิดอยู่ตรงนี้ครับ
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
นำ $(3)-(1)$ จะได้
$$\{z(1-z)-1\}f(z)=z(2-z)-z+1$$
ซึ่งแก้เป็น
นำ $(3)-(1)$ จะได้
$$\{z(1-z)-1\}f(z)=z(2-z)-z-1$$
คูณ $-1$ ทั้งสองข้างจะได้
$$(z^2-z+1)f(z)=z^2-z+1$$
ซึ่งจะได้
$$f(z)=1$$
แต่ทีนี้ $z^2-z+1$ ต้องไม่เท่ากับ $0$ ด้วย ซึ่งมันจะขัดกับสมการที่โจทย์กำหนดเพราะมันบอกว่าใช้กับจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน จึงไม่มีคำตอบที่ต้องการ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
functional equation(Cauchy's equation) and composition function tukkaa ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 0 25 พฤษภาคม 2011 10:53
ข้อยาก Functional Equation Keehlzver พีชคณิต 10 09 มีนาคม 2011 17:53
Functional Equation !!! Suwiwat B พีชคณิต 1 14 สิงหาคม 2010 18:46
IMO;Functional Equation The jumpers พีชคณิต 4 12 พฤษภาคม 2008 14:43
Functional Equation dektep พีชคณิต 14 14 มีนาคม 2008 11:35

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:20


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha