ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[saint]

1. 6 เป็นตัวประกอบของ n^3 - n สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

2. {(3+(รูท 17)) / 2 }^n + {(3-(รูท 17)) / 2 }^n เป็นจำนวนคี่ สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

#รบกวนขอแนวทางด้วยนะครับ

[Aquila]

คร่าวๆ นะครับ เอาไปดัดๆดูนะ ผิดตรงไหนก็แก้ดูเองนะครับ

ข้อ 1 ไม่น่ามีไรมากป่าว แค่ prove ว่า 6 หาร $n^3-n$ ลง
ก็ prove ว่า $3 \mid n^3-n$ และ $2 \mid n^3-n$ แล้วก็เขียนสรุปว่าทำไม 6 หารลง

อีกวิธีก็ $n^3 \equiv n \pmod{3}$ และ $n^2 \equiv n \pmod{2}$ จัดรูปอันที่ 2 แล้วเขียนสรุป

อีกวิธีก็ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $n$ หารผลคูณของจำนวนเต็มบวกเรียงกัน $n$ ตัวลง claim strong กว่า เอามาสรุป

อีกวิธีก็ลุยถึกๆ partition โชว์ว่า $\left\{\,n^3-n | n \in \mathbb{N}\right\} \subseteq 6\mathbb{N}$ แตก $\mathbb{N}$ ด้วย $\pmod{6}$ แล้วโชว์ value ในเซ็ททางฝั่งซ้าย

-------------------------------------------------------------------------

ข้อ 2 ใช้สมการ $a_{n+1}=3a_{n}+2a_{n-1}$ โดยเลือก $a_1=3$ และ $a_{2}=13$

สมการนี้ lead ไปที่ผลเฉลย $a_{n}$ เดียวกันในโจทย์ เขียนให้เหตุผลด้วยว่าสมการเวียนบังเกิดแบบนี้มีผล unique

ไปหาเครื่องมามารองรับว่ามัน unique หรือเขียนอธิบายดีๆว่ามัน lead ไปที่ $a_{n}$ เดียวกับโจทย์ ไม่ใช่ form อื่น

ไม่งั้นบทพิสูจน์นี้จะใช้ไม่ได้ ทีนี้ก็ส่งต่อ induction ไป โชว์ P(1), P(2) จริง สมมติ P(k) จริง prove P(K+1) จริง

โชว์ให้ได้ว่า $a_{k+1}=3a_{k}+2a_{k-1} \equiv 1 \pmod{2}$ โดยใช้ P(k) มา deduct สรุปเอา

-----------------------------------------------------------------------------

อีกวิธีก็ให้ก้อนแรกเป็น $\lambda_{1}$ ก้อนหลังเป็น $\lambda_{2}$ ละกัน จะได้ $a_{n}=\lambda_{1}^n+\lambda_{2}^n$ สังเกตว่า $a_{1}$ และ $a_{2}$ เป็นจำนวนเต็มคี่

พยายามสร้างความสัมพันธ์ของ $a_{n}$ ใดๆ ในรูป $\lambda$ ให้ได้

จะได้ว่า $a_{k}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})(\lambda_{1}^{k-1}+\lambda_{2}^{k-1})-\lambda_{1}\lambda_{2}(\lambda_{1}^{k-2}+\lambda_{2}^{k-2})=a_{1}a_{k-1}-\lambda_{1}\lambda_{2}a_{k-2}$

ตั้งต้นจากสมการนี้พิสูจน์ว่า $a_{n}$ เป็นจำนวนเต็มทุก $n$ และ $a_{n} \equiv 1 \pmod{2}$ ทุก $n$ induct เอา

-----------------------------------------------------------------------------

สำหรับ $a_{n}$ ในรูปของ $\lambda_{1},\lambda_{2}$ ถ้ารู้จัก Newton identity สำหรับพหุนามสมมาตร

ก็อาจะได้ $a_{n}$ ในรูปผลคูณกับผลบวก เอาไป induct ได้อีกเอกลักษณ์นึง อาจได้อีก 1 solution

have a good bloody day sir

[Thamma]

ข้อ 1. อีกวิธีนะคะ

$ n^3-n = n(n-1)(n+1) = \binom{n+1}{3}\cdot 6 $

เนื่องจาก $ \binom{n+1}{3}$ เป็นจำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของ 3 ชิ้นจาก $n+1$ ชิ้น ดังนั้น $\binom{n+1}{3} \in \mathbb{N}$ ทำให้ $ 6 \mid n^3-n $