|
|
#1
14 มกราคม 2017, 03:14
|
|||
|
|||
จากสมการ $x^2+y^2=z^3$
โดยใช้เอกลักษณ์พีชคณิต อยากทราบที่มาที่ไปว่า ทำไมถึงได้ $(u(u^2-3u^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2=(u^2+v^2)^3$ ค่ะ จากสมการ $x^2+y^2=z^3$ โดยใช้เอกลักษณ์ทางพีชคณิตอยากทราบว่าทำไมถึงได้เป็น $(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2=(u^2+v^2)^3$ ค่ะ 14 มกราคม 2017 18:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: merge 
|
|
#3
14 มกราคม 2017, 13:01
|
|||
|
|||
|
ถ้าหากว่าตั้งโจทย์ใหม่เป็น
จงหาพร้อมพิสูจน์ว่าสมการ $a^2+b^2=c^3$ มีคำตอบหรือไม่ ถ้าไม่มีจงพิสูจน์ ถ้ามีจงหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ...จะทำยังไง... เอกลักษณ์ตัวนี้ถ้าไม่เคยเห็นมาก่อนแล้วเจอโจทย์ถามแบบข้างบนไป มันก็ยากนะที่จะนึกให้ออก แต่มันพอเดาได้ครับ เจ้าของกระทู้ เขาอยากรู้ที่มาของเอกลักษณ์ตัวนี้ หรือวิธีสร้างเอกลักษณ์ที่เข้าใจง่ายๆ ลองอธิบายให้เขาฟังสิครับ ว่าถ้าจะสร้างเอกลักษณ์ตัวนี้ต้องทำยังไงบ้าง
|
|
#5
14 มกราคม 2017, 18:21
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
เขาถามแค่ว่ามันมีที่มาที่ไปยังไงต่างหาก ผมแค่ยกตัวอย่างเฉยๆ เพื่อที่ว่าจะได้มีใครสักคนที่อธิบายให้เขาเข้าใจง่ายๆ ก็แค่นั้น
|
|
#7
14 มกราคม 2017, 20:32
|
|||
|
|||
|
มันมาจากการเสกเอานั่นเองครับ ไปนั่งทางในเจอเอกลักษณ์ตัวนี้มาก็เลยเอามาแสดงให้ดู
จุดประสงค์จริงๆคือจะบอกว่าสมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์ครับ ซึ่งไม่จำเป็นต้องแสดงตามนี้ก็ได้เช่นบอกว่าเพราะ $(2t^3)^2+(2t^3)^2=(2t^2)^3$ ทุกจำนวนเต็มบวก $t$ ดังนั้นสมการ $x^2+y^2=z^3$ มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#8
15 มกราคม 2017, 00:12
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
|
#9
15 มกราคม 2017, 09:02
|
|||
|
|||
|
ขอบคุณมากค่ะ ขอถามเพิ่มเติมน่ะค่ะ
แล้วถ้าเป็นโจทย์แบบนี้ แล้วเราจะหาค่า $x,y$ ยังไงค่ะ เพราะลองเอาค่า $u=2,v=1$ แทนใน $x_1,y_1,z_1$ และ $x_2,y_2,z_2$ แล้วแต่คำตอบไม่ตรงกับเฉลย ตอนแรกคิดว่าเฉลยผิดแต่พอตรวจคำตอบดูแล้วเฉลยไม่ได้ผิดค่ะ สมการ$(11)$ คือ $ax^2+by^2={z^3}^n$
|
|
#10
15 มกราคม 2017, 20:40
|
|||
|
|||
|
มาเพิ่มตรงส่วนคำถามแรกให้นะ เอาไว้ประกอบ detail ของสัมมนา
ที่ถามว่า $a^2+b^2=c^3$ แล้วมาเป็นเอกลักษณ์นั้นได้ไง point ของมันก็เป็นไปตามที่ความเห็นบนบอกนั่นแหละครับ คือมันพยายามโชว์ว่า solution มีมากมายไม่จำกัด (infinitely many solutions) ซึ่งข้อสังเกตของความเห็นบนก็เพียงพอที่จะแสดง point นี้ แต่ถ้าหากอยากได้ด้วยว่า $(u,v)=1$ ก็ต้องสร้างเอกลักษณ์ขึ้นมาให้ match กับเงื่อนไขนี้ด้วย -------------------------------------------------------------- ต่อมาผมจะโชว์ให้เห็นว่าจาก $a^2+b^2=c^3$ เพียวๆมัน build เอกลักษณ์ออกมายังไง ให้ลองสังเกตจากเลขชี้กำลังดูก่อน คือมันมี 2 กับ 3 ถูกป่าว และมโนคติเบื้องต้นอย่างเป็นรูปธรรม ของสมการนี้คือ มันต้อง build เอกลักษณ์ของตัวแปรอื่นๆ (เช่น $u,v$) ให้กำลังสองของอะไรสักอย่าง บวกกันแล้วได้กำลังสามของอีกตัว ถูกไหม แต่เราไม่รู้ว่าไส้ใน $a,b,c$ มันควรมีอะไร และมีตัวแปรกี่ตัว ถ้าเป็นตัวเดียวก็จะคล้ายๆของคุณ nooonuii *** เพราะงั้นก็ลองนึกเป็น 2 ตัวแปรดูก่อน ก็เลยควรเดาไปก่อนเลยว่าเป็น 2 ตัวแปร ต่อมามาลองดูเลขชี้กำลัง มันมี 2 กับ 3 นิพจน์ในการกระจายมันจะเท่ากันได้ มันควรมีเลขชี้กำลังตอนกระจายออกมาแล้วเท่ากัน เพราะงั้นข้างในไส้ของกำลัง 2 ด้านซ้ายควรมี 3 และข้างในไส้กำลัง 3 ด้านขวาควรมี 2 เพื่อที่ว่ามันคูณกระจายออกมาแล้วได้กำลัง 6 ถูกป่าว จากนั้นก็ใช้ข้อสังเกตนี้นี่แหละ build เอกลักษณ์ (เรามีสูตรกำลังสองกับสามอะไรบ้างนึกดู) เรามี $(u-v)^3,(u+v)^3$ อยู่นิ และเราต้องการกำลัง 6 ที่สามารถจะดัดได้ง่ายๆถูกไหม เพราะงั้นก็เลือกเป็น $(u^2-v^2)^3$ มาดู และสังเกตเพิ่มด้วยว่า $(u^2-v^2)^3=-(v^2-u^2)^3$ จะได้เป็น $(u^2-v^2)^3+(v^2-u^2)^3=0$ ที่ต้องใช้แบบนี้เพราะเราต้องการดัดเอกลักษณ์โดยใช้สมมาตรที่บวกกันเป็น 0 ทางฝั่งขวา เพื่อที่ว่าเราจะสามารถย้ายบางเทอมหรือบวกบางเทอมจากการกระจายฝั่งซ้ายไปฝั่งขวา แล้วได้อะไรซักอย่างกำลังสามพอดี และหวังว่าค่าที่เหลือจากทางฝั่งซ้ายมันจะ match กับอะไรซักอย่างที่เป็นกำลังสองบวกกัน กระจายออก $u^6-3u^4v^2+3u^2v^4-v^6+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4-u^6=0$ จากนี้สังเกตว่า จัดให้เป็นกำลังสองสองก้อนบวกกัน ยากกว่า จัดให้เป็นกำลังสามก้อนเดียว เพราะงั้นเริ่มจากย้ายตัวที่น่าจะเป็นกำลังสามไปทางขวาก่อนคือ $-u^6,-v^6$ แล้วมองให้เป็นกำลังสามให้ได้ บวกเทอมที่เหลือคือ $3u^4v^2+3u^2v^4$ เข้าไป $u^6-3u^4v^2+3u^2v^4+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4+3u^4v^2+3u^2v^4=u^6+v^6+3u^4v^2+3u^2v^4=(u^2+v^2)^3$ ---(***) ทีนี้ฝั่งขวามันจะรวบเป็นกำลังสามได้ตามแผนละ ถูกป่าว เหลือแต่บีบทางฝั่งซ้ายให้หลุดเป็นกำลังสองบวกกันให้ได้ จากนี้ถ้าเรารีบไปตัดทอนผลลัพธ์สุดท้ายของฝั่งซ้าย มันจะเหลือแต่พจน์ที่เป็นค่าบวกซึ่งจัดกำลังสองบวกกันแล้วมองยาก เลยเหลือเป็นค่าลบไว้ $u^6-3u^4v^2+3u^2v^4+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4+3u^4v^2+3u^2v^4$ ตรงนี้มันจะมองได้ไม่ยากมากให้เป็นกำลังสองสองตัวบวกกันจากการดูเลขชี้กำลังที่โชว์อยู่ เลือกจากที่ obvious สุดก่อน คือ $u^6,v^6$ มันต้องเป็นกำลังสองสองตัวบวกกัน เพราะงั้นต้องมองเป็น $(u^3)^2,(v^3)^2$ แล้วเอาไปโยงกับเอกลักษณ์ที่เรารู้จักกันดี $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ มอง $x,y$ ให้ออกให้ได้ เลือกไปจับกับ $u^6-3u^4v^2$ (ทำไม?...) เพราะมันมองเป็น $(u^3)^2-2(u^3)(3uv^2)+(3uv^2)^2$ ซึ่งเลขชี้กำลังมัน force ให้เป็นกำลังสองได้พอดี จัดได้เป็น $u^6-3u^4v^2=(u^3)^2-2(u^3)(3uv^2)+(3uv^2)^2+3u^4v^2-9u^2v^4$ แค่บวกเข้าตัดออกธรรมดาๆ เหลือแค่เชคดูว่าผลลัพธ์สุดท้ายมันตัดทอนกันหมดเหลือแค่กำลังสองของอะไรสักอย่างบวกกันไหม เวลาเชคเขียนแยกเป็นแบบนี้น่าจะเชคง่ายขึ้นครับ $u^6-3u^4v^2=(u^3-3uv^2)^2+3u^4v^2-9u^2v^4$ $v^6-3v^4u^2=(v^3-3vu^2)^2+3v^4u^2-9v^2u^4$ จับสองอันบนบวกกันแล้วบวกเทอมอื่นๆที่เหลือจาก (***) ก็จบแล้ว มันจะตัดกันหมด เหลือเป็น $(u^3-3uv^2)^2+(v^3-3vu^2)^2=(u^2+v^2)^3$ ก็เท่านั้นเอง ไม่ยากใช่มั้ย ตรง *** มันมีเอกลักษ์แบบตัวแปรเดียวอยู่ด้วยคือ $(t^3-3t)^2+(3t^2-1)^2=(t^2+1)^3$ คือแทน $v=1$ นี่แหละ แต่การสร้างแบบนี้ ผมว่ามองไม่ยากไม่ง่ายไปกว่าการมองแบบสองตัวแปรอีกนะ เพราะมันไม่มีอุปกรณ์ช่วย deduct เท่าไร ปล. ประเด็นอื่นๆเดี๋ยวมามีเวลามาช่วยให้ครับ 
|
|
#12
20 มกราคม 2017, 18:43
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
สำหรับ theorem 1 ผลเฉลยจะหาจากการกำหนดค่า $u,v$ กับ $n$ ก่อนครับ $x,y$ มันจะได้มาจากการหาค่า $(x_{n},y_{n},z_{1})$ เท่านั้นครับ $x,y,z$ ที่เป็นผลเฉลยขึ้นเฉพาะกับ $u,v$ และ $n$ แต่จะหยุดหา $x,y$ ที่กี่ขั้น ต้องดูที่ค่า $n$ เอา ตรงสมการ (21) $x^2+y^2=z^9$ มันคือ special case ที่มี $n=2$ ครับ หมายความว่า solution จะหาได้จาก $(x_{2},y_{2},z_{1})$ เท่านั้นเอง ถ้าเป็นแบบนี้ก็จะหมายความว่า หา 2 ขั้น คือขั้นแรกกำหนด $u,v$ ขึ้นมาก่อน จะได้ $x_{1},y_{1},z_{1}$ ขึ้นที่สองเอา $x_{1},y_{1}$ ที่ได้ไปหา $x_{2},y_{2}$ (ส่วนเงื่อนไขของ $u,v$ เป็นไปตามที่เห็นใน paper) ให้ $u=2 , v=1$ จะหา $x_{1},y_{1},z_{1}$ ได้เป็น $2,11,5$ ครับ (ตามลำดับเลย แค่ใช้ (22) ใน paper แทนตรงๆ) จากนั้นเอา $x_{1}=2,y_{1}=11$ แทนใน $x_{2},y_{2}$ ใน (23) จะได้ $x_{2}=-718$ กับ $y_{2}=-1199$ ส่วน $z_{1}=2^2+1^2=5$ จะเหมือนเดิมตลอด (สำหรับ $x_{2},y_{2}$ ที่ติด $u,v$ ใน (23) ไม่ต้องเอา $u,v$ มาแทนตรงนี้นะครับ มันยุ่งยาก... ) $z$ อื่นๆ ไม่ต้องไปยุ่งกับมันครับ $z$ กำหนดแค่ $z_{1}=u^2+v^2$ แล้วใช้ตัวนี้ไปตลอด ลองกลับไปดู theorem 1 ดู มันจะเป็น $z_{1}$ ตลอด การเขียนแบบนี้ $(x,y,z)=(x_{n}(u,v),y_{n}(u,v),z_{1}(u,v))$ หมายความว่า คู่อันดับที่เป็นผลเฉลยในฝั่งซ้าย ได้มาจาก คู่อันดับที่เป็นผลเฉลยในฝั่งขวาโดยขึ้นกับ $u,v$ ที่กำหนดเริ่มต้น และจำนวนครั้งของการคำนวณ $n$ ครับ ยกตัวอย่างเพิ่มให้ใน case ที่ $n=3$ นะ ถ้าให้เป็น $a,b$ เป็น $1,1$ เหมือนเดิมจะได้ $x^2+y^2=z^{27}$ เลือก $(u,v)=(2,1)$ เหมือนเดิม จะได้ $z_{1}=5$ เหมือนเดิม ส่วน $x_{1},y_{1}$ และ $x_{2},y_{2}$ จะเป็นค่าเดิมเลยคือ $2,11$ กับ $-718,-1199$ ส่วน $x_{3},y_{3}$ ก็แค่หาจาก $x_{3}=x_{2}(x_{2}^2-3y_{2}^2)$ กับ $y_{3}=y_{2}(3x_{2}^2-y_{2}^2)$ แล้วก็สังเกตด้วยว่า เครื่องหมายหรือการสลับ $x,y$ มันไม่ fix ครับ เช่นใน paper บอก $x=1199 ,y=718$ ไม่ตรงกับที่ผมหาออกมาเป็น $-718,-1199$ แต่เวลามันแทนแล้วมันสอดคล้อง $x^2+y^2=z^9$ ก็พอ ที่เป็นแบบนี้เพราะมันเป็นกำลังสอง จะแทนกลับกันหรือใส่เครื่องหมายลบก็ได้ครับ ส่วน case นี้ $n=3$ ก็จะได้เป็น $(-2726446322)^2+(130656229)^2=5^{27}$ สังเกตว่าสับเลขหรือใส่ลบ กำลังสองคำนวณออกมาจะเหมือนเดิม มันไม่ fix ครับ ปล. paper นี้ไม่ยากครับ ใช้ความรู้ไม่หวือหวามาก แต่ต้องใช้การสังเกตกับทักษะหน่อยครับ ถ้าติดลองทดมือดูเองก่อนครับ กำหนดตัวเลขเล็กๆลงไปก่อนก็ได้ สู้ๆนะครับ
|
|
#13
22 มกราคม 2017, 19:44
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
|
  |
|
|
