แยกตัวประกอบครับ

[napong]

ตัวประกอบข้อนี้แยกยังไงหรอครับ

x^5-6x^4-3x^3+39x^2-10x-45=0

[tngngoapm]

อันดับแรกวิเคราะห์ก่อนครับว่ารากของสมการต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อยสุด1 ตัวซึ่งอาจจะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะก็ได้ ตรวจสอบเบื้องต้นโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือจำนวนตรรกยะในการแยกตัวประกอบก่อนพบว่าได้ $x+1$ เป็นตัวประกอบแรก ใช้การหารสังเคราะห์หาผลหารจะได้.....
$$x^5-6x^4-3x^3+39x^2-10x-45=(x+1)(x^4-7x^3+4x^2+35x-45)$$
......ทำการวิเคราะห์$x^4-7x^3+4x^2+35x-45$ต่อหาตัวประกอบจำนวนตรรกยะจะเห็นว่าไม่มีแล้ว
แสดงว่ารากสมการต้องอยู่ในรูปจำนวนอตรรกยะหรือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคู่สังยุคกัน
กำหนดให้ $x^2-ax+b$(เมื่อ a,bเป็นจำนวนเต็ม)เป็นตัวประกอบของ $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$
นำ $x^2-ax+b$ หาร $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$ โดยการตั้งหารยาวจะได้เศษคือ.......
$$(a^3-7a^2+(4-2b)a+7b+35)x+(b^2-(a^2-7a+4)b-45)$$ซึ่งเศษต้องเท่ากับศูนย์
แสดงว่า $a^3-7a^2+(4-2b)a+7b+35=0......(1)$ และ$ b^2-(a^2-7a+4)b-45=0......(2)$
ทำการเดาในสมการ(1)ว่า$a=0$.....หา$b=-5$ นำ$a=0,b=-5$ไปแทนในสมการ(2)เป็นจริง
แสดงว่า $x^2-5$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$
ทำต่อนำ$x^2-5$ไปหาร $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$ได้$x^2-7x+9$
สรุปว่า $$x^5-6x^4-3x^3+39x^2-10x-45=(x+1)(x^2-5)(x^2-7x+9)$$

[zam007]

สุดยอดมากครับ

[tngngoapm]

ขอบคุณครับ
ในฐานะที่ผมเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นคนหนึ่ง ผมยิ่งค้นคว้าลึกลงไปยิ่งพบเจอกับความน่าทึ่งไม่มีที่สิ้นสุดของศาสตร์นี้
ตัวอย่างเช่น เราเคยสงสัยไหมว่าฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเอ็กโปรเนนเชียลนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างไร
นักคณิตศาสตร์คนสำคัญท่านหนึ่งได้กล่าวไว้ว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันเอกโปรเนนเชียลสัมพันธ์กันผ่านสมการ
$e^{\theta i}=cos\theta +isin\theta $
แต่ในการหาสูตรทั่วไปสำหรับรากสมการที่เป็นจำนวนจริงของสมการพหุนามกำลังสามสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมา
หาคำตอบของรากสมการได้ แต่ไม่น่าจะเพียงพอสำหรับการหาสูตรทั่วไปของรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เหลือ
จำเป็นให้ต้องดึงฟังก์ชันเอ็กโปรเนนเชียลเข้ามาช่วย ปรากฎว่าได้สูตรทั่วไปของรากสมการพหุนามกำลังสามครบทุกตัว
อีกสักระยะหนึ่งผมจะนำมันมาเผยแพร่ที่นี่แหละครับ.........
(ซึ่งจริงจริงคาร์ดารได้ค้นพบสูตรนี้มาตั้งนานแล้ว แต่ผมคิดว่าคาร์ดารคงใช้พีชคณิตและจำนวนเชิงซ้อนมาแก้ปัญหาไม่ได้ใช้
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และฟังก์ชันเอ็กโปรเนนเชียลเข้ามาใช้ทำให้ในทางปฎิบัติสูตรของคาร์ดารค่อนข้างซับซ้อนและไม่ค่อยเป็นที่นิยมมากนัก
ซึ่งผมไม่แน่ใจว่าในสมัยของคาร์ดานมี ฟังก์ชันตรีโกณมิติและเอ็กโปรเนนเชียลหรือยัง???ใครเป็นผู้เชียวชาญในประวัตินักคณิตศาสตร์โปรดแถลงไขที)

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

อันดับแรกวิเคราะห์ก่อนครับว่ารากของสมการต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อยสุด1 ตัวซึ่งอาจจะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะก็ได้ ตรวจสอบเบื้องต้นโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือจำนวนตรรกยะในการแยกตัวประกอบก่อนพบว่าได้ $x+1$ เป็นตัวประกอบแรก ใช้การหารสังเคราะห์หาผลหารจะได้.....
$$x^5-6x^4-3x^3+39x^2-10x-45=(x+1)(x^4-7x^3+4x^2+35x-45)$$
......ทำการวิเคราะห์$x^4-7x^3+4x^2+35x-45$ต่อหาตัวประกอบจำนวนตรรกยะจะเห็นว่าไม่มีแล้ว
แสดงว่ารากสมการต้องอยู่ในรูปจำนวนอตรรกยะหรือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคู่สังยุคกัน
กำหนดให้ $x^2-ax+b$(เมื่อ a,bเป็นจำนวนเต็ม)เป็นตัวประกอบของ $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$
นำ $x^2-ax+b$ หาร $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$ โดยการตั้งหารยาวจะได้เศษคือ.......
$$(a^3-7a^2+(4-2b)a+7b+35)x+(b^2-(a^2-7a+4)b-45)$$ซึ่งเศษต้องเท่ากับศูนย์
แสดงว่า $a^3-7a^2+(4-2b)a+7b+35=0......(1)$ และ$ b^2-(a^2-7a+4)b-45=0......(2)$
ทำการเดาในสมการ(1)ว่า$a=0$.....หา$b=-5$ นำ$a=0,b=-5$ไปแทนในสมการ(2)เป็นจริง
แสดงว่า $x^2-5$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$
ทำต่อนำ$x^2-5$ไปหาร $x^4-7x^3+4x^2+35x-45$ได้$x^2-7x+9$
สรุปว่า $$x^5-6x^4-3x^3+39x^2-10x-45=(x+1)(x^2-5)(x^2-7x+9)$$

พอดีเห็นว่ามันจับคู่ได้ครับ

$x^4-7x^3+4x^2+35x-45 = (x^4+4x^2-45)-(7x^3+35x)$

แต่ถ้าจับคู่ไม่ได้วิธีที่เสนอมาก็อาจจะดีก็ได้ครับ (ไม่รู้มีวิธีที่ดีกว่านี้มั้ยเพราะสุดท้ายมันก็ขึ้นอยู่กับการเดาอยู่ดี)

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ขอบคุณครับ
ในฐานะที่ผมเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นคนหนึ่ง ผมยิ่งค้นคว้าลึกลงไปยิ่งพบเจอกับความน่าทึ่งไม่มีที่สิ้นสุดของศาสตร์นี้
ตัวอย่างเช่น เราเคยสงสัยไหมว่าฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเอ็กโปรเนนเชียลนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างไร
นักคณิตศาสตร์คนสำคัญท่านหนึ่งได้กล่าวไว้ว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันเอกโปรเนนเชียลสัมพันธ์กันผ่านสมการ
$e^{\theta i}=cos\theta +isin\theta $
แต่ในการหาสูตรทั่วไปสำหรับรากสมการที่เป็นจำนวนจริงของสมการพหุนามกำลังสามสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมา
หาคำตอบของรากสมการได้ แต่ไม่น่าจะเพียงพอสำหรับการหาสูตรทั่วไปของรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เหลือ
จำเป็นให้ต้องดึงฟังก์ชันเอ็กโปรเนนเชียลเข้ามาช่วย ปรากฎว่าได้สูตรทั่วไปของรากสมการพหุนามกำลังสามครบทุกตัว
อีกสักระยะหนึ่งผมจะนำมันมาเผยแพร่ที่นี่แหละครับ.........
(ซึ่งจริงจริงคาร์ดารได้ค้นพบสูตรนี้มาตั้งนานแล้ว แต่ผมคิดว่าคาร์ดารคงใช้พีชคณิตและจำนวนเชิงซ้อนมาแก้ปัญหาไม่ได้ใช้
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และฟังก์ชันเอ็กโปรเนนเชียลเข้ามาใช้ทำให้ในทางปฎิบัติสูตรของคาร์ดารค่อนข้างซับซ้อนและไม่ค่อยเป็นที่นิยมมากนัก
ซึ่งผมไม่แน่ใจว่าในสมัยของคาร์ดานมี ฟังก์ชันตรีโกณมิติและเอ็กโปรเนนเชียลหรือยัง???ใครเป็นผู้เชียวชาญในประวัตินักคณิตศาสตร์โปรดแถลงไขที)

มีอะไรมาให้อ่านได้ตลอดเลยนะครับ

อิจฉาอะครับ อยากมีเวลาคิดเลขเยอะๆแบบนี้บ้าง ...

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

มีอะไรมาให้อ่านได้ตลอดเลยนะครับ

อิจฉาอะครับ อยากมีเวลาคิดเลขเยอะๆแบบนี้บ้าง ...

ขอบคุณครับ มีเวลาอย่างเดียวไม่พอนะครับ ต้องมีกาแฟสัก1ถ้วยช่วยด้วยอ่ะครับ