Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #31  
Old 24 พฤษภาคม 2008, 21:30
TS_SME's Avatar
TS_SME TS_SME ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤษภาคม 2008
ข้อความ: 122
TS_SME is on a distinguished road
Default

คุณเอาเทคนิคมากจากไหน
ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #32  
Old 25 พฤษภาคม 2008, 01:42
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ประสบการณ์ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #33  
Old 25 พฤษภาคม 2008, 13:54
The Got_SME's Avatar
The Got_SME The Got_SME ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 พฤษภาคม 2008
ข้อความ: 128
The Got_SME is on a distinguished road
Default

ขอโทษที่เปลี่ยนเรื่องครับ
แต่ผมอยากถามว่าจะทำการ
อ้างอิงยังไงครับ
__________________
ความพยายาม คือ ความสำเร็จของมนุษย์
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #34  
Old 26 พฤษภาคม 2008, 00:39
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The Got_SME View Post
ขอโทษที่เปลี่ยนเรื่องครับ
แต่ผมอยากถามว่าจะทำการ
อ้างอิงยังไงครับ
ถ้าเป็นอสมการที่มีชื่อเรียกอยู่แล้วก็สามารถอ้างอิงเลยได้ครับ
แต่ถ้าไม่มีชื่อเรียกเฉพาะอย่างในอสมการกึ่งสำเร็จรูป
ก็ควรแสดงวิธีพิสูจน์ให้ดูด้วย
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #35  
Old 22 กรกฎาคม 2008, 14:16
วิหก's Avatar
วิหก วิหก ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 กรกฎาคม 2007
ข้อความ: 105
วิหก is on a distinguished road
Default

NormalizationandHomogenizationคืออะไรและแปลว่าอะไรครับพี่
รบกวนด้วยครับ

22 กรกฎาคม 2008 20:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ วิหก
เหตุผล: มีข้อความมาเติมเพิ่มครับ+พิมผิด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #36  
Old 22 กรกฎาคม 2008, 21:58
Char Aznable Char Aznable ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 66
Char Aznable is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วิหก View Post
NormalizationandHomogenizationคืออะไรและแปลว่าอะไรครับพี่
รบกวนด้วยครับ
Homogenization ก็เป็นการทำให้อสมการดีกรีเท่ากันทุกพจน์น่ะครับ
__________________
The Inequalitinophillic
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #37  
Old 23 กรกฎาคม 2008, 07:01
วิหก's Avatar
วิหก วิหก ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 กรกฎาคม 2007
ข้อความ: 105
วิหก is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Char Aznable View Post
Homogenization ก็เป็นการทำให้อสมการดีกรีเท่ากันทุกพจน์น่ะครับ
ขอตัวอย่างหน่อยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #38  
Old 23 กรกฎาคม 2008, 08:29
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

$\clubsuit$ Normalization กับ Homogenization เป็นกระบวนการที่ตรงข้ามกันครับ

ทั้งสองอย่างนี้เกี่ยวข้องกับ Homogeneous Function

ขออธิบายเฉพาะสามตัวแปรนะครับ

ให้ $F(a,b,c)$ เป็นฟังก์ชันของสามตัวแปร $a,b,c$ เช่น $F(a,b,c)=a+b+c$

เรากล่าวว่า $F$ เป็น homogeneous function of degree n ถ้า

$$F(\lambda a,\lambda b,\lambda c)=\lambda^nF(a,b,c)$$

ทุก $\lambda$ ที่อยู่ในเซตที่เราสนใจ เช่น จำนวนจริงบวก หรือ จำนวนจริง

ตัวอย่าง $F(a,b,c)=a+b+c$ เป็น homogeneous function degree 1

$F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2$ เป็น homogeneous function degree 2

แต่ $F(a,b,c)=a+b+c+1$ ไม่เป็น homogeneous function

ทำไมต้อง homogeneous function ?

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

สมมติ $F(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

จะเห็นว่า $F$ เป็น homogeneous function degree 0

สมมติเราสร้างตัวแปรใหม่เป็น

$x=\dfrac{a}{a+b+c}$

$y=\dfrac{b}{a+b+c}$

$z=\dfrac{c}{a+b+c}$

เราจะได้ $x+y+z=1$ และ

$F(x,y,z)=F(a,b,c)$ (why?)

ดังนั้น ค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $F(a,b,c)$ กับ $F(x,y,z)$ จะมีค่าเท่ากัน

แต่การหาจาก $F(x,y,z)$ น่าจะดีกว่าเ้พราะเรามีเงื่อนไข $x+y+z=1$ แถมมาด้วย

กระบวนการเปลี่ยนตัวแปรจาก $a,b,c$ เป็น $x,y,z$ นี้เราเรียกว่า normalization ครับ

นี่คือที่มาว่าทำไมเราถึงสามารถสมมติว่า $a+b+c=1$ ในการพิสูจน์อสมการ

$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$

ซึ่งจริงๆแล้ว $a,b,c$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข $a+b+c=1$ ก็คือตัวแปร $x,y,z$ ที่นิยามตามแบบข้างบนนี่เอง

เราสามารถ normalize ฟังก์ชันได้เยอะแยะมากมายครับ เช่น ให้

$x=\dfrac{3a}{a+b+c}$

$y=\dfrac{3b}{a+b+c}$

$z=\dfrac{3c}{a+b+c}$

เราก็ยังได้ $F(a,b,c)=F(x,y,z)$ เหมือนเดิม แต่คราวนี้ได้เงื่อนไข

$x+y+z=3$ มาแทน

$\spadesuit$ กระบวนการ Homogenization ก็คือการทำอสมการที่มีเงื่อนไข

ให้กลับไปเป็นอสมการของ homogeneous function ที่ไม่มีเงื่อนไขนั่นเอง

เช่น เรามีอสมการ $a+b+c\geq 3$ เมื่อ $abc=1$

เราอาจจะ homogenize ให้เป็น

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

ซึ่งก็คืออสมการ $AM-GM$ นั่นเอง

โดยทั่วไป homogenization ทำยากกว่า normalization ครับ

เำพราะเราไม่รู้ว่าจะคืนตัวแปรไปอยู่ส่วนไหนดี แต่หลักๆก็คือ

หลังจาก homogenize แล้ว ฟังก์ชันจะต้อง homogeneous ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #39  
Old 29 ธันวาคม 2008, 21:52
The jumpers's Avatar
The jumpers The jumpers ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2008
ข้อความ: 432
The jumpers is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
ตามคำแนะนำของ Web Master ครับ
กระทู้นี้เป็นกระทู้รวบรวมเทคนิคการแก้โจทย์อสมการ ใครมีเทคนิคการคิดอย่างไรบ้าง ขอเชิญเข้ามาแลกเปลี่ยนความรู้กันดีกว่าครับ ผมขอเขียนหัวข้อไว้คร่าวๆก่อน แล้วจะเข้ามาเติมในตอนหลัง ใครมีเทคนิคอะไรเพิ่มเติมก็เข้ามาเติมได้เลยครับ

1. การใช้อสมการพื้นฐาน
2. การใช้อสมการสำเร็จรูป/อสมการกึ่งสำเร็จรูป
3. การทำย้อนกลับ/การจัดรูปไปสู่อสมการอื่นที่สมมูลกัน
4. การแทนค่าตัวแปร
5. สมมาตรของตัวแปร
6. การใช้เอกลักษณ์พีชคณิต
ุ7. การแยกกรณี
8. การพิจารณาเงื่อนไขที่ทำให้อสมการเป็นจริง
9. การหาข้อขัดแย้ง
10. Normalization
ุ11. Homogenization
12. การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
13. Calculus
14. อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
15. การกระจาย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #40  
Old 13 มกราคม 2009, 20:50
RoSe-JoKer's Avatar
RoSe-JoKer RoSe-JoKer ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤศจิกายน 2007
ข้อความ: 390
RoSe-JoKer is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers View Post
15. การกระจาย
ถ้าเป็นไปได้พยายามอย่ากระจายดีกว่าครับ คุณจะได้เห็นไอเดียดีๆอีกเยอะจากการทำอสมการโดยไม่กระจายนะครับ น้อง The Jumpers
__________________
Rose_joker @Thailand
Serendipity
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #41  
Old 14 กุมภาพันธ์ 2015, 08:17
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

ส่วนใหญ่เวลาเราจะ bound ให้มันชิดๆกัน ส่วนใหญ่จะใช้อสมการไหนหรอครับ แบบไม่ให้มัน bound เกิน พอจะมีข้อสังเกตไหมครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

14 กุมภาพันธ์ 2015 08:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #42  
Old 14 กุมภาพันธ์ 2015, 08:40
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth View Post
ส่วนใหญ่เวลาเราจะ bound ให้มันชิดๆกัน ส่วนใหญ่จะใช้อสมการไหนหรอครับ แบบไม่ให้มัน bound เกิน พอจะมีข้อสังเกตไหมครับ
ขึ้นอยู่กับโจทย์ครับ มันคือเสน่ห์อย่างหนึ่งของวิชาอสมการเลยนะ เขาจึงชอบเอามาออกเป็นข้อสอบโอลิมปิก

เพราะอะไรที่มันสำเร็จรูปหรือมีวิธีการแน่นอนแล้ว มันไม่มีประโยชน์ที่จะเอามาวัดอัจฉริยภาพของคนครับ

ตอนนี้โจทย์อสมการลดความนิยมลงมากในโจทย์ระดับโอลิมปิกเพราะมีคนคิดสูตรสำหรับพิสูจน์อสมการยากๆได้เยอะขึ้น

นั่นคือมีคนรู้ทัน trick ของการพิสูจน์อสมการมากขึ้น จึงหันมาเล่นสมการเชิงฟังก์ชันแทนซึ่งก็เป็นอีกวิชานึงที่ไม่ค่อยจะมี

ระเบียบแบบแผนอะไรเลยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #43  
Old 03 พฤษภาคม 2015, 17:09
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

แวะมาเพิ่มอสมการกึ่งสำเร็จรูปให้

1. $(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^k\leq n^{k-1}(a_1^k+a_2^k+a_3^k+...+a_n^k)$

2. $a_1 \sqrt{b_1}+a_2\sqrt{b_2}+a_3\sqrt{b_3}+...+a_n\sqrt{b_n}\leq \sqrt{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)}$

3. $\dfrac{1}{a_1+b_1}+\dfrac{1}{a_2+b_2}+\dfrac{1}{a_3+b_3}+...+\dfrac{1}{a_n+b_n}\leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_n}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b_1}+\dfrac {1}{b_2}+\dfrac{1}{b_3}+...+\dfrac{1}{b_n}\right)$

11 พฤษภาคม 2015 17:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #44  
Old 27 พฤศจิกายน 2015, 13:19
mathwarrior's Avatar
mathwarrior mathwarrior ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 มกราคม 2013
ข้อความ: 61
mathwarrior is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
แวะมาเพิ่มอสมการกึ่งสำเร็จรูปให้

1. $(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^k\leq n^{k-1}(a_1^k+a_2^k+a_3^k+...+a_n^k)$

2. $a_1 \sqrt{b_1}+a_2\sqrt{b_2}+a_3\sqrt{b_3}+...+a_n\sqrt{b_n}\leq \sqrt{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)}$

3. $\dfrac{1}{a_1+b_1}+\dfrac{1}{a_2+b_2}+\dfrac{1}{a_3+b_3}+...+\dfrac{1}{a_n+b_n}\leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_n}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b_1}+\dfrac {1}{b_2}+\dfrac{1}{b_3}+...+\dfrac{1}{b_n}\right)$
ข้อ 1 กับ 2 มีวิธีที่ไม่ต้องใช้ jensen หรือเปล่าครับ
ข้อ 3 บัคครับ เครื่องหมายในวิธีทำผิด(กลับข้าง)
__________________
กระผมเป็นเพียงแค่เด็กธรรมดาๆคนหนึ่ง.....ก็เท่านั้นเอง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #45  
Old 27 พฤศจิกายน 2015, 13:23
mathwarrior's Avatar
mathwarrior mathwarrior ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 มกราคม 2013
ข้อความ: 61
mathwarrior is on a distinguished road
Default ข้อ 2

ข้อสองแค่โคชีก็ออกแล้วครับ ไม่เห็นจะต้องเจนเสนเลย
ป.ล.ทุกข้อนี่ ค่าของตัวแปรเป็นอะไรบ้างครับ ถ้าเป็นจริงลบอสมการจะผิดนะครับ
__________________
กระผมเป็นเพียงแค่เด็กธรรมดาๆคนหนึ่ง.....ก็เท่านั้นเอง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:49


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha