ช่วยแสดงวิธีทำหน่อยครับ โจทย์ ม.ต้น

[SoRuJa]

ข้อสอบที่ผมเอามาถามอันนี้ผมคัดเอาเฉพาะข้อที่ผมทำไม่ได้จริงๆ(ของม.ต้น) ช่วยแสดงวิธีทำด้วยนะครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

1.กระดานรูปสี่เหลี่ยมผ้ากว้าง 12 นิ้ว ยาว 16 นิ้ว ต้องการตอกตะปูที่มุมและขอบโดยรอบ ให้ตะปูมีระยะห่างเท่าๆกัน จะต้องใช้ตะปูอย่างน้อยที่สุดกี่ตัว
2.ถ้า $-\frac{2}{5}$,$\frac{5}{2}$ เป็นรากของสมการ $ax^2+bx+c = 0$ เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 จงหา ab
3.ด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งยาวกว่ารัศมีของวงกลม 3 cm ถ้าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยกว่าพื้นที่ของวงกลมอยู่ 54 $cm^2$ อยากทราบว่ารัศมีของวงกลมยาวเท่าใด
4.ถ้า $2x^2+1$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของพหุนาม $6x^4-2x^3+5x^2-x+1$ จงหาตัวประกอบอีกตัว
5.กำหนดสมการ $ax^2+bx+c = 0$ มีคำตอบคือ p และ q ในระบบจำนวนจริง และสมการ $ax^2-bx-c = 0$ มีคำตอบเป็น m และ n ในระบบจำนวนจริง จงหา
$\frac{p^2+q^2}{m^2+n^2}$

6.จากรูปจงหารัศมีของวงกลมที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยม ABC (มีภาพประกอบ)
7.เมื่อคูณผลบวกของสองเท่าของจำนวนๆหนึ่งกับครึ่งหนึ่งของจำนวนๆนั้นด้วยจำนวนเดิม จะได้ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนเดิม จงหาจำนวนนั้น

[Redhotchillipepper]

กลัวคนอื่นแย่งตอบ เลยขอตอบข้อหนึ่งก่อนด้วยความรวดเร็ว ว่า 14 ตัวฮะ ก็หา หรม เอาไงคับง่ายๆ

[Redhotchillipepper]

ข้อ 2. มันแปลกๆนา ถ้าโจทย์กำหนดว่า a , b และ c ไม่ใช่จำนวนเต็ม มันก็จะมีหลายคำตอบนะคับ แต่ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนเต็มก็ขอตอบว่า ab = -210 คับ

[Redhotchillipepper]

ข้อ 3.

คำตอบคือ รัศมี = ( 6 + ึ[ 36 + 252( p - 1 )] ) / 2( p - 1 ) ข้อนี้มันง่ายอ่ะพี่ ขอ

ไม่แสดงวิธีทำนะ

[Redhotchillipepper]

ข้อ 4 ก็หารสังเคราะห์เอาเลยครับ ง๊าย ง่าย ไปก่อนละคับ ขอให้โชคดี

[SoRuJa]

ข้อ 3 ลืมบอกไป เขากำหนด p=$\frac{22}{7}$ ด้วยครับ

[Redhotchillipepper]

งั้นเอา 22/7 แทนไปเลยคับ แต่ข้อ 2. มันแปลกๆอ่ะนะ ถ้าเป็นผมจะตั้งว่าให้หาค่า b/a นะเพราะมีคำตอบเดียว แต่ถ้า ถามหา ab นี่ก็มีหลายคำตอบเลยฮะ

[CmKaN]

เวรกำพิมแล้วรอบนึงแต่เน็ตหลุดเงอะๆ
งั้นเอาคำตอบไปก่อนนะครับ
ข้อ5 ไม่มั่นใจได้ $\frac{b^{2}-2c}{b^{2}+2c}$ [b]ผิดอีกแล้วครับได้เป็น $\frac{b^{2}-2ac}{b^{2}+2ac}$
ข้อ7ตอบจำนวนๆนั้น คือ $\frac{2}{5}$

ขอโทษด้วยครับ

[SoRuJa]

แงๆ ยังไม่มีใครเฉลยข้อ 6 เลยอ่า แล้วข้อนี้ต้องใช้ตรีโกณรึเปล่าครับ

[Redhotchillipepper]

ข้อ 6 มันง่ายเหลือเกินครับ ไม่ต้องใช้ตรีโกณหรอก เริ่มจากให้หาพื้นที่สามเหลี่ยมก่อน จากรูปดูน่าจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากนะ แต่ถ้าไม่ใช่มุมฉากก็หาพื้นที่จากสูตรของฮีรอนก็ได้ ( รู้จักฮีรอนใช่ป่ะ ) เมื่อหาพื้นที่สามเหลี่ยมได้แล้ว ก็ทำการสร้างสามเหลี่ยมเล็ก 3 รูปโดยการลากเส้นจากจุดศูนย์กลางวงกลมไปตั้งฉากกับด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมใหญ่ จะได้สามเหลี่ยม 3 รูปที่มีฐานยาว 3 , 4 และ 5 ตามลำดับ ทีนี้ก็ตั้งสมการ

(1/2)(r)(3) + (1/2)(r)(4) + (1/2)(r)(5) = พื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่

ทีนี้ก็แก้สมการซะ ก็จะได้ค่า r แล้วใช่ป่ะ ของกล้วยๆ

[nongtum]

ข้อหก เริ่มจากลากเส้นรัศมีทั้งสามตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุดสัมผัส แล้วลากเส้นจากจุดศูนย์กลางวงกลมไปยังมุมยอดทั้งสาม เราทราบว่าพื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่เท่ากับผลรวมของพื้นที่สามเหลี่ยมย่อยที่มีด้านของสามเหลี่ยมใหญ่เป็นฐานและรัศมีเป็นส่วนสูง ดังนั้นรัศมีจึงยาว $\frac{0.5\times3\times4}{0.5\times(3+4+5)}=1$ cm

ข้อเจ็ด มีศูนย์เป็นคำตอบด้วยนะครับ
ข้อห้า คิดได้เท่ากันครับ ดูวิธีทำที่ความคิดเห็นด้านล่าง
ข้อสี่ น่าจะจับหารตรงๆนะครับ มันหารสังเคราะห์ไม่ได้นะ คำตอบคือ $3x^2-x+1$

[CmKaN]

ข้อความเดิมของคุณ Redhotchillipepper:
ข้อ 2. มันแปลกๆนา ถ้าโจทย์กำหนดว่า a , b และ c ไม่ใช่จำนวนเต็ม มันก็จะมีหลายคำตอบนะคับ แต่ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนเต็มก็ขอตอบว่า ab = -210 คับ

ทำไมผมได้ไม่เท่ากับคุณRedhotchillipepperอ่ะครับ ผมลองทำดูน่ะครับ
จากโจทย์ถ้า $-\frac{2}{5},\frac{5}{2} \text{เป็นรากของสมการ} ax^{2}+bx+c=0$
ได้ $(x+\frac{2}{5})(x-\frac{5}{2})=ax^{2}+bx+c$
$x^{2}-\frac{21x}{10}-1=ax^{2}+bx+c$
$\text{จะได้} a=1,b=-\frac{21}{10},c=-1$
$\text{ดังนั้น} {a}\times{b}=-\frac{21}{10}$
ใช่รึเปล่าครับ หรือว่าผมคิดผิดอ่ะครับ
ถ้าผมคิดผิดก็ขอโทษด้วยนะครับ

[warut]

ต้องเอา 10 คูณตลอดสมการ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็มก่อนครับ

โจทย์ข้อนี้ไม่ดีอย่างที่คุณ Redhotchillipepper บอกครับ เพราะมีได้หลายคำตอบ อย่างเช่นถ้าเอา 20 คูณตลอดก็จะได้อีกคำตอบนึง แต่โจทย์แนวนี้ก็ยังมีให้เห็นอยู่เรื่อยๆครับ

[CmKaN]

อืมอย่างนี้นี่เอง ขอบคุณครับ

เพิ่มแสดงวิธีทำข้อ3น่ะครับ
กำหนดให้วงกลดมีรัศมี $x$ cm.
จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาว$x+3$ cm.
จะได้ พื้นที่วงกลม-พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = 54$cm^{2}$
แทนค่าจากสูตร $\pi x^{2}-(x+3)^{2}=54$
$\pi x^{2}-x^{2}-6x-9=54$(แต่เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ $\pi = \frac{22}{7}$)
จึงได้ $22x^{2}-7x^{2}-42x^{2}-441=0$
$5x^{2}-14x-147=0$
หาค่าxจากสูตร $x= \frac{-bบวก/ลบ\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$(พิมพ์บวกลบLatexยังไงเหรอครับ)
แทนค่า $x=\frac{14+\sqrt{3136}}{10} \text{แต่เนื่องจากความยาวเป็นลบไม่ได้จึงได้ค่าเดียว}$
ดังนั้น$x=\frac{32}{10}$------ผิดครับๆๆเปลี่ยนเป็น$x=\frac{70}{10}$
ตอบรัศมี 3.2 cm. -----ผิดอีกครับแก้เป็น7cm

ส่วนข้อ5วิธีเหมือนข้อ2ด้านบน

ข้อ7
ได้สมการดังนี้
$x(2x+\frac{x}{2})=x$ แล้วก็ได้0ตวมที่พี่ด้านบนบอกไว้ด้วยครับ
EDIT:เปลี่ยนที่กำหนด

[SoRuJa]

คือว่าข้อ5หลังจากคิดไปคิดมาอ่ะครับ มันได้ $\frac{b^2-2ac}{b^2+2ac}$ไม่ใช่หรอครับ

จาก $ax^2+bx+c=0$ ได้ $p=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ และ $q=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

จาก $ax^2-bx-c=0$ ได้ $m=\frac{-(-b)+\sqrt{(-b)^2-4a(-c)}}{2a}=\frac{b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$และ $n=\frac{b-\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$

ให้ u แทน $\sqrt{b^2-4ac}$ และ v แทน $\sqrt{b^2+4ac}$

$\frac{p^2+q^2}{m^2+n^2} = \frac{(\frac{-b+u}{2a})^2+(\frac{-b-u}{2a})^2}{{(\frac{b+v}{2a}})^2+{(\frac{b-v}{2a}})^2}$

$=\frac{\frac{b^2-2bu+u^2}{4a^2}+\frac{b^2+2bu+u^2}{4a^2}}{\frac{b^2+2bv+v^2}{4a^2}+\frac{b^2-2bv+v^2}{4a^2}}$

$=\frac{\frac{2b^2+2u^2}{4a^2}}{\frac{2b^2+2v^2}{4a^2}}$

$=\frac{b^2+u^2}{b^2+v^2}$

$=\frac{b^2+(\sqrt{b^2-4ac})^2}{b^2+(\sqrt{b^2+4ac})^2}$

$=\frac{b^2+b^2-4ac}{b^2+b^2+4ac}$

$=\frac{2b^2-4ac}{2b^2+4ac}$

$=\frac{b^2-2ac}{b^2+2ac}$

ผมผิดตรงไหนหรือเปล่าครับ

ปล.ขอบคุณทุกคนที่มาตอบนะครับ
ปล2.พิมพ์โค้ด LaTex จนเมื่อยเลย