น่าจะตรีโกณ ช่วยด้วยครับ

[a-Little-Man]

$3^{3x+1}-3^{2x+2}-3^{x+1}+1=0$ โดย $a,b$ เป็นราก และ $a>b$

จงหา $\frac{3^a-3^b}{1+3^{a+b+1}}$

[legendaryfool]

$1-9(3^{2x})=3(3^{x})-3(3^{3x})$

$\frac{3(3^{x})-(3^{3x})}{1-9(3^{2x})}=1$

$\frac{3(3^{x+\frac{1}{2}})-(3^{3x+\frac{3}{2}})}{1-3(3^{2x+1})}=\sqrt{3}$

ให้ $tan \theta=3^{x+\frac{1}{2}} $ โดยที่ $tan \theta>0$

$\frac{3tan \theta-tan^3 \theta}{1-3tan^2 \theta}=\sqrt{3}$

$tan 3\theta = \sqrt{3}$

$3 \theta= 60 , 240 , 420$

$\theta= 20 , 80 , 140$

แต่ $tan 140<0$

ได้ $3^{x+\frac{1}{2}}=tan 20,tan 80$

$3^{x}=\frac{tan 20}{\sqrt{3}} , 3^{x}=\frac{tan 80}{\sqrt{3}}$

น่าจะต่อเองได้แล้วนะครับ ปล.ผมไม่ได้คิดเองนะ เอามาจากชมรมเลข

[Amankris]

No_Trigonometry_Solution

$t=3^x,A=3^a,B=3^b$

$3^{3x+1}-3^{2x+2}-3^{x+1}+1=3(t-A)(t-B)(t-C)$

$\begin{array}{ccc}
A+B+C&=&3\\
AB+BC+CA&=&-1\\
ABC&=&-\dfrac{1}{3}
\end{array}$

$\begin{array}{rcl}
P&=&\dfrac{3^a-3^b}{1+3^{a+b+1}}\\
&=&\dfrac{A-B}{1+3AB}\\
\\
P^2&=&\dfrac{(A+B)(A+B)-4AB}{1+6AB+9A^2B^2}\\
&=&\dfrac{(A+B)(3-C)-4AB}{(1+AB)(1+9AB)-4AB}\\
&=&\dfrac{(A+B)(-9ABC-C)-4AB}{(-BC-CA)(1+9AB)-4AB}\\
&=&1
\end{array}$

[a-Little-Man]

ขอบคุณมากครับ