สอวน. คณิตศาสตร์ ศูนย์ศิลปากร ครับ ( 2553 )

[กิตติ]

จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง
A prime number (or a prime) is a natural number that has exactly two distinct natural number divisors: 1 and itself
a natural number คือ จำนวนนับ ซึ่งคือจำนวนเต็มบวกนั่นเอง

[Siren-Of-Step]

1. กำหนดให้ $x^2 - \sqrt{7}x + 1 = 0$ จงหาค่าของ $\frac{x^8+x^6+x^2+1}{x^4}$
(ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
สามารถหาร $x$ ตลอด
$x+\frac{1}{x} = \sqrt{7}$
$x^2+\frac{1}{x^2} = 5$
$x^4+\frac{1}{x^4} = 23$
$23+5 = 28 $

[เด็กญี่ปุ่น]

แสดงวิธีทำข้อ 1

ให้ $P(x) =Ax^2+Bx+C$

(1) $P(a)=0$

$Aa^2+Ba+c=0$

(2) $P(a+1)=1$

$A(a+1)^2+B(a+1)+c=1$

$Aa^2+2Aa+A+Ba+B+C=1$ เอา $Aa^2+Ba+c=0$ ไปแทน

$2Aa+A+B=1$

จะได้ว่า $B=1-A-2Aa$

นำ $B=1-A-2Aa$ แทนลงไปใน $Aa^2+Ba+C=0$ จะได้ว่า

$Aa^2+(1-A-2Aa)a+C=0$

$Aa^2+a-Aa-2Aa^2+C=0$

จะได้ว่า $C=Aa^2+Aa-a$

จาก $P(x)=Ax^2+Bx+C$ นำ $B=1-A-2Aa$ และ $C=Aa^2+Aa-a$ แทนลงไป จะได้
$P(x)=Ax^2+(1-A-2Aa)x+(Aa^2+Aa-a)$
$P(x)=Ax^2+x-Ax-2Aax+Aa^2+Aa-a$
$P(x)=[(Ax^2-2Aax-Aa^2)+(x-a)+(-Ax+Aa)]$
$P(x)=A(x-a)^2+(x-a)-A(x-a)$
$P(x)=(x-a)[A(x-a)+1-A]$

จะได้
$P(a)=(a-a)[A(a-a)+1-A]=0$
$P(a+1)=(a+1-a)[A(a+1-a)+1-A]=1$
$P(a+2)=(a+2-a)[A(a+2-a)+1-A]=2(A+1)$

ติดค่า $A$ ใครก็ได้บอกวิธีหาค่า A หน่อยสิ

[TuaZaa08]

$ P(x) \geqslant 0 $ เป็นพหุนามดีกรีสอง ที่มีสมบัติดังกล่าว เอ่ อะไรน่า

ใช่แล้วครับ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ไง แล้วเราก็ไปดูเงื่อนไขที่ 2
$P(a)=0 , P(a+1)=1$ เอ๊ะ ถ้ามันเป็นแบบนี้ละ ได้หรือป่าว ??

$P(x)= (x-a)^2 $ บังเอิญจริงๆ เงื่อนไขทั้งสองข้อเป็นจริงซะด้วย

เราจึงได้ว่า $P(x) = (x-a)^2 $
ดังนี้แล้ว $P(a+2)+P(a+1)=4+1= 5$ จร้าาาา ^^

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y

แบบแสดงวิธีทำ

1. กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง ที่ $P(x) \geqslant 0$ และ a เป็นจำนวนเต็มที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้
1) $P(a) = 0$
2) $P(a+1) = 1 $
จงแสดงวิธีหาค่าของ $P(a+2) + P(a+1)$ อย่างละเอียด

จากข้อ 1 ทำให้ได้ว่า $P(x) =A(x-a)^2$
จากข้อ 2 ทำให้ได้ว่า $P(a+1) = A(a+1-a)^2 = 1 $
$\therefore A =1$
ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ

[JKung]

อยากได้เฉลยข้อ 2 ตอนแสดงวิธีทำจัง =^^=

[TuaZaa08]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

อยากได้เฉลยข้อ 2 ตอนแสดงวิธีทำจัง =^^=

ข้อนี้พิจารณาช่วงเอามั้ง

$[x] =x $ กับ

$x-1< [x] < x $

ทำได้แล้วเอามาให้ดูมั้ง ทำไม่เป็น

^^

[iMsOJ2i2y]

เอ่อ... มีคอมจะถามข้อหนึ่งนะครับ ผมข้องใจมากเลยข้อสอบ คอม ข้อนี้อ่า

โจทย์นะครับ

...........................................................................................................................

$A = X_1$

$B = X_1$

$i = 1$

หาก i < n ให้ทำตามนี้

1) ถ้า $X_i < B$ กำหนดให้ $B = X_i$

2) ถ้า $X_i > A$ กำหนดให้ $A = X_i$

3) $ i = i + 1$

แสดงค่า A และ B

................................................................................................................

ถ้ากำหนดให้ $X_1 , X_2 , X_3 , X_4 , X_5 , X_6$ คือ $7 , 4 , 5 , 3 , 9 , 1$ ตามลำดับ
ข้อใดคือค่าของ A และ B ที่แสดงผลออกมา

1) A = 7, B = 7 2) A = 9 , B = 1 3) A = 1 , B = 9 4) ไม่มีข้อใดถูก ( ชอยข้อ 4 ไม่แน่ใจครับ )

ขอโทษที่นอกเรื่องมาเรื่องคอมนะครับ

แต่อยากรู้ว่าข้อนี้ควรตอบอย่างไรครับ

ผมสงสัยมาก เพราะ โจทย์ไม่ได้กำหนดค่า n มาให้ ผู้รู้บางคนบอกว่า จาก

ถ้ากำหนดให้ $X_1 , X_2 , X_3 , X_4 , X_5 , X_6$ คือ $7 , 4 , 5 , 3 , 9 , 1$ ตามลำดับ

จะได้ว่า n = 7 ผมเลยสงสัยมากๆ ว่าควรจะเป็นอย่างไร

ส่วนข้ออื่นที่ในโจทย์มีค่า n มันมักจะวงเล็บท้ายคำถามเสมอว่า ( n = 10 ) ประมาณนี้

ขอบคุณที่ตอบครับ

[strawberry_tart]

งึมๆๆๆ โจทย์คอมนะคะ
ค่า n นี้ไม่รู้เหมือนกันค่ะ (ใครรู้ตอบให้ด้วยน้าา)
แต่ว่าข้อนี้ต้องตอบว่า A = 9 และ B = 1
เพราะว่าจากโจทย์นั้นเค้าให้มาว่า A คือค่ามากที่สุดและ B คือค่าน้อยที่สุดค่ะ
ดูได้จากที่บอกว่า X > A ให้ นำค่า X มาใส่ใน A (ไม่เขียนตัวไอห้อยไม่ว่ากันนะคะ)
และถ้า X < B ให้นำค่า X มาใส่ใน B ค่ะ
เพราะฉะนั้นจะได้ว่าค่า A คือค่า max ส่วนค่า B คือค่า min
แล้วโจทย์ก็ให้ค่า X มา ทีนี้เราก็แค่หาค่าที่มากที่สุดให้เป็น A
และค่าที่น้อยที่สุดเป็นค่า B แค่นี้ค่ะ

ปล. ข้าน้อยก็ไม่ค่อยเก่งนักเพราะงั้นผิดไม่ว่ากันน้าค้าาาาา...
ปล.สอง. ขอบคุณทุกคนที่ยอมเสียสละเวลามาอ่านค่ะ

[strawberry_tart]

อยากรู้ข้อแสดงวิธีทำข้อแรกอ่ะค่ะ (ในนี้ไม่ได้เขียนโจทย์)
อยากรู้ว่าทุกคนได้รูปแบบนี้ไหมอ่ะ ตอนวาดอ่ะ (ด้วยความมานะและพยายามนะขอรับ)


............โรงเรียน
................l
................l.\
................l.\.\
................l.\..\
................l..\...\
................l...\....\
................l....\.....\
................l.....\.....\
สถานีตำรวจ l___จุดD__l โรงพยาบาล
...................\.....\....l
......................\...\...l
.........................\.\..l
..............................l
...........................จุด E

(รูปด้านบนตรงไหนที่เป็นจุดๆ ไม่ต้องสนใจค่ะคือมันต้องใส่ไม่งั้นรูปมันติดกันหมดเลยง่ะ)

แล้วถ้าเกิดได้รูปเหมือนข้าน้อยจากรูปนี้เค้าให้หาระยะจากจุด D ถึงโรงพยาบาลป่ะคะ

โจทย์มันคือ ให้ ระยะทางระหว่างสถานีตำรวจถึงโรงพยาบาลเป็นหนึ่งหน่วย
และให้มาว่า พื้นที่ของสามเหลี่ยมภายในโรงเรียนและจุดDและโรงพยาบาล (งงนิดนึง)
กับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยม ใหญ่ๆนั้นทั้งหมดอ่ะ คิดเป็นอัตราส่วน 1 : 5 แล้ว
ให้หาระยะทางจากจุด D ไปหาโรงพยาบาล มั้งนะ
ข้าน้อยเข้าใจมาอย่างนี้อ่ะ แต่ไม่รู้ถูกไหม
ใครคิดกันยังไงมาบอกด้วยค้าาาาาา ..
ปล. ข้อนี้ข้าน้อยคิดไม่ได้ขอรับ มืนตึบมากมาย
ปล.สอง. ขอบคุณทุกๆ ท่านที่ตอบคำถามค้าาาาาา

[Onasdi]

ผมไม่รู้โจทย์นะครับ แล้วก็ไม่รู้ว่าตีความมาถูกรึเปล่า
จากข้อมูลที่ให้มา ยังไม่เพียงพอที่จะหาระยะทางจาก D ไปถึงโรงพยาบาลครับ มีด้านไหนเท่ากัน หรือขนานกันรึเปล่าครับ หรือว่าสี่เหลี่ยมใหญ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y

2. กำหนดให้ $[x]$ แทนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$
จงเขียนวิเคราะห์การหาคำตอบของจำนวนจริง $x$ ในสมการ $x[x] = 11$

ข้อนี้คำตอบออกมาง่ายเหลือเชื่อจริงๆ ตอนแรกคิดว่าจะมีหลายคำตอบซะอีก

สมมติ $n=[x]$

ให้ $y=x-[x]=x-n$

จะได้ว่า $0\leq y<1$

จากโจทย์จะได้

$n(n+y)=11$

$y=\dfrac{11}{n}-n,n\neq 0$

ดังนั้น

$0\leq \dfrac{11}{n}-n <1$

จะได้ระบบอสมการ $n(n^2-11)\leq 0$ และ $n(n^2+n-11)>0$

$n\in (-\infty,-\sqrt{11}]\cup [0,\sqrt{11}]$ และ $n\in (\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{2},0)\cup (\dfrac{-1+3\sqrt{5}}{2},\infty)$

$n\in \{0,1,2,3,-4,-5,-6,...\}$ และ $n\in \{-3,-2,-1,3,4,5,...\}$

ดังนั้น $n=3$ เท่านั้น

จึงได้ว่า $x=\dfrac{11}{3}$

[Onasdi]

อีกวิธีครับ สังเกตว่า $x[x]$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $x\ge0$ และเป็นฟังชั่นลดบน $x\le0$

[strawberry_tart]

โจทย์ข้อนี้บอกไว้ว่า
วงกลมสามวงซ้อนกันอยู่
โดยวงกลมขนาดกลางมีรัศมีเท่ากับ r
วงกลมขนาดเล็กมีรัศมีเท่ากับ x
และวงกลมขนาดใหญ่มีรัศมีเท่ากับ x + r
ให้หาว่าพื้นที่ส่วนที่แรเงาเป็นกี่เท่าของพื้นที่ของวงกลมรัศมี r ค่ะ
โจทย์น่าจะแบบนี้น้าถ้าจำไม่ผิด

ปล. ขอบคุณทุกๆท่านที่มาช่วยตอบค้าา

[strawberry_tart]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ผมไม่รู้โจทย์นะครับ แล้วก็ไม่รู้ว่าตีความมาถูกรึเปล่า
จากข้อมูลที่ให้มา ยังไม่เพียงพอที่จะหาระยะทางจาก D ไปถึงโรงพยาบาลครับ มีด้านไหนเท่ากัน หรือขนานกันรึเปล่าครับ หรือว่าสี่เหลี่ยมใหญ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน?

(เอารูปใหม่มาลงแล้วค้า ดูดีขึ้นเยอะเลย)
คือจากโจทย์บอกไว้ว่า
ให้ A,B,C คือสถานที่สามที่ได้แก่ โรงเรียน, โรงพยาบาลและสถานีตำรวจตามลำดับ
โดย ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และเส้นตรง CB มีความยาว 1 หน่วย
จากนั้นลากเส้นจากจุด A มาที่จุด E ซื่งจุดE เกิดจากการลากเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรงCB
จะได้จุด D ซึ่งคือจุดตัดของเส้นตรง AE และเส้นตรง CB
ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD กับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABEC คิดเป็นอัตราส่วน 1 : 5
แล้วจงหาความยาวของเส้นตรง DB

ปล. สำหรับคนที่ไปสอบมาถ้าโจทย์ผิดตรงไหนช่วยแก้ให้ด้วยนะคะ