Help. Algebra

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1. ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a, b$ เป็นรากของสมการ
$x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$

2.จงพิสูจน์ว่า

2.1 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z,w$ ใดๆ
$|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$

2.2 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,...,z_n$ ใดๆ และ จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากกว่า $1$
ถ้า $|z_1\pm z_2\pm z_3\pm...\pm z_n|\leqslant |w_1\pm w_2\pm w_3\pm ...\pm w_n|$
แล้ว $|z_1|^2+|z_2|^2+...+|z_n|^2\leqslant |w_1|^2+|w_2|^2+...+|w_n|^2$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

2.1 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z,w$ ใดๆ
$|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$

ให้ $z=a+bi$ $w=c+di$

$[a^2+b^2+c^2+d^2]+[a^2+b^2+c^2+d^2]=2(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)$

$[a^2+2ab+b^2+c^2+2cd+d^2]+[a^2-2ab+b^2+c^2-2cd+d^2]=2(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)$

$(a+b)^2+(c+d)^2+(a-b)^2+(c-d)^2=2(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)$

$|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$

[polsk133]

2.2 กระจายทั้ง $2^{n-1}$กรณี(ตรงถ้า...) ออกมาจับบวกกันหมด จะได้ที่ต้องการ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

1. ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a, b$ เป็นรากของสมการ
$x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$

ความสัมพันธ์ของราก
$a+b=-z_1$ , $ab=z_2+m$

จาก

$|a-b|=2\sqrt7$

$a^2-2ab+b^2=28$

แต่ $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2-4ab=z_1^2-4z_2-4m$

ดังนั้น $z_1^2-4z_2-4m=28$

จาก $z_1^2-4z_2=12+16i$ จะได้

$12+16i-4m=28$

$4m=-16+16i$

$m=-4+4i$

$\left|\,m\right| =\sqrt{4^2+4^2} =4\sqrt{2}$

[polsk133]

ทำแบบบรรทัดล่างคำว่าจากมา2บรรทัดน่าจะไม่ได้นะครับ

ข้อนี้ผมเคยถามไปแล้ว ลองหาๆดูครับตอบ12

[วิหารเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

2.2 กระจายทั้ง $2^{n-1}$กรณี(ตรงถ้า...) ออกมาจับบวกกันหมด จะได้ที่ต้องการ

มีวิธีดีกว่านี้ไหมครับ