กฎแห่งเกม

[TOP]

กฏแห่งเกมเป็นตอนหนึ่งจากการ์ตูนเรื่อง Q.E.D. เล่ม 9 มีปัญหาน่าสนใจมาให้ลองคิดกันดูนะครับ (ไว้วันหลังจะนำรูปมาลงให้ดู )

ในการเล่มเกมหนึ่ง มีผู้เข้าร่วมแข่งขัน 3 คน กฎของเกมเป็นดังนี้

1. ผู้แข่งขันแต่ละท่านจะได้เพชรปลอมไปคนละ 1 เม็ด (เป็นเพชรที่ปลอมได้เหมือนเพชรแท้มาก จนไม่มีผู้เข้าแข่งขันคนไหนแยกออก)
2. มีห้องแสดงเพชร ซึ่งวางเพชรแท้ไว้ 1 เม็ด
3. ผู้เข้าแข่งขันแต่ละท่าน จะต้องเข้าไปในห้องแสดงเพชรทีละคน และเข้าได้เพียง 1 ครั้งเท่านั้น ตามลำดับ
4. เมื่อผู้เข้าแข่งขันเข้าไปในห้องแสดงเพชรแล้ว จะทำยังไงกับเพชรแท้ก็ได้ (ในห้องนั้น เราทำอะไรไว้ คนข้างนอกจะไม่รู้) เช่น
   1. เอาเพชรแท้ไปเลย
   2. เอาเพชรปลอมวางทิ้งไว้รวมกับเพชรแท้
   3. ไม่ยุ่งกับเพชรแท้ และก็ไม่ทิ้งเพชรปลอมเอาไว้
   4. เอาเพชรแท้ไปเลย แล้วสลับเพชรปลอมไว้แทนเพชรแท้
   หลังจากนั้นจึงออกมา เพื่อให้ผู้เล่นลำดับถัดไปเข้ามาในห้อง แต่หลังจากผู้เข้าแข่งขันทุกคนได้เข้าไปในห้องแล้ว
5. หากพบว่าเพชรแท้ยังวางทิ้งไว้ในห้อง จะถือว่าทุกคนแพ้
6. หากผู้เข้าแข่งขันคนไหน เป็นผู้ครอบครองเพชรแท้ไว้ในมือ จะถือว่าคนนั้นเป็นผู้ชนะ เว้นเสียแต่ว่ามีคนอื่นทายถูกว่า ใครเป็นคนถือเพชรแท้ ก็จะให้คนที่ทายถูก เป็นฝ่ายชนะแทน

ผู้เล่นที่เข้าไปในห้องคนที่เท่าไหร่ จึงจะมีโอกาสชนะเกมนี้มากที่สุด และคุณมีแผนการเล่นอย่างไร

ป.ล. แก้ไขจำนวนผู้เล่นจาก 4 คน เป็น 3 คนนะครับ

[Donovan]

ปัญหายากจังครับ ขอตอบว่าเป็นคนที่สองมีโอกาสชนะเกมส์นี้มากที่สุดครับ เพราะ คน 4 คน ใครก็หวังอยากชนะทุกคน คนแรกที่เข้าไป คงต้องทำการสลับเพชรจริงกับเพชรปลอมแน่ เพราะถ้าทำอย่างอื่นนอกจากนี้จะทำให้คนแรกมีโอกาสชนะยาก เช่นถ้าเอาเพชรแท้ออกไปเลย คนที่สองก็จะรู้ทันทีว่า คนแรกเอาไป หรือถ้าเอาเพชรแท้กับเพชรปลอมวางรวมกันคนแรกก็เดายากอีกว่าคนที่ สอง สาม สี่ ใครจะได้เพชรจริงไป ดังนั้นสิ่งที่คนแรกจะทำก็คือสลับเพชรจริงกับเพชรปลอม คนที่สองที่เข้ามาก็น่าจะรู้ได้เลยว่าเพชร 1 อันในห้องนั้นเป็นเพชรปลอม เพชรจริงถูกสลับโดยคนแรกไปแล้ว
ขอตอบว่า คนที่สองมีโอกาสชนะมากที่สุด เป็นคำตอบสุดท้ายครับ ขอคุณ TOP เฉลยด้วยครับ!!!

[TOP]

ได้รูปมาแล้ว

[Nay]

ผมว่าคนที่ 3 มีโอกาศชนะมากที่สุด แต่ถ้าอธิบายมันจะยาว รอเฉลยครับ

[Nutty]

ทุกคนโอกาศเท่ากันครับ
ถ้าเพชรอยู่กับตัวเอง มีโอกาศชนะ 25%(อีก75%คนอื่นจะทายว่าเป็นเรา)
ถ้าอยู่ที่คนอื่นมีโอกาศ 50%(ในการทายถูก)

แต่ถ้าคนที่2ทำตามแผนจริงแพ้แน่ๆครับ
โดยการที่คนที่1
ไม่เปลี่ยนเพชร เอาเพชรจริงไว้ที่เดิม เพชรปลอมไว้กับตัวเอง

คนที่2ก็จะทำตามแปนคือ
เปลี่ยนเพชร แล้วก็ ชี้ว่าคนที่1ถือเพชรจริง(ตามแผน)

แต่คนที่1ก็จะชี้ว่าคนที่2ถือเพชรจริงครับ

คนที่1ก็จะชนะ

---------------------------------
อีกกรณีคือ
ถ้าทิ้งไว้ในห้องทั้ง3เม็ด ให้คนที่3 คนที่3รู้ว่าตัวเองยังไงก็แพ้เค้าก็ไม่หยิบออกไปเลยก็ได้ครับ

[TOP]

จากการเขียนโปรแกรมทดสอบพบว่า หากแต่ละคนเลือกแบบสุ่ม วิธีใดวิธีหนึ่งจาก

1. เลือกหยิบเพชรที่วางทิ้งไว้เท่านั้น
2. วางเพชรปลอมทิ้งไว้
3. ไม่ยุ่งกับเพชรที่วางทิ้งไว้ และก็ไม่ทิ้งเพชรปลอมเอาไว้
4. เลือกหยิบเพชรที่วางทิ้งไว้ และวางเพชรปลอมทิ้งไว้ด้วย

พบว่ามีรูปแบบวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมด 96 วิธี โดยสุดท้ายแล้วเพชรแท้จะอยู่ที่

• ห้องแสดงเพชร ได้ทั้งสิ้น 24 วิธี
• ผู้เล่นคนที่ 1 ได้ทั้งสิ้น 24 วิธี
• ผู้เล่นคนที่ 2 ได้ทั้งสิ้น 24 วิธี
• ผู้เล่นคนที่ 3 ได้ทั้งสิ้น 24 วิธี

แสดงว่า ความน่าจะเป็นที่เพชรแท้จะอยู่ที่ตนเองคือ 1/4 และความน่าจะเป็นที่เพชรแท้จะอยู่ที่สองคนอื่นคือ 1/2
และเมื่อแต่ละคนมีสิทธิ์ทายได้ว่า ใครเป็นคนเก็บเพชรแท้ไว้กับตัว ก็ทำได้เช่นเดียวกัน ดังนั้นผู้เข้าเล่นเกมทั้งสามคน จึงมีโอกาสชนะเท่ากันหมด

พิจารณาแผนการเล่น เมื่อสมมติว่าเกมนี้ต้องมีผู้ชนะ
หากเรารู้ว่าเพชรเม็ดไหนในห้องเป็นเพชรแท้แล้ว

• เก็บเพชรแท้นั้นไว้กับตัว ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ (3*2*2)/(3*3*3) = 4/9
• หากปล่อยเพชรแท้นั้นให้คนอื่นเก็บไป แต่ไม่รู้ว่าใครเป็นคนเก็บ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/2
• หากปล่อยเพชรแท้นั้นให้คนอื่นเก็บไป และรู้ด้วยว่าใครเป็นคนเก็บ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1

ดังนั้นเราจึงควรทิ้งเพชรแท้ไว้ดังเดิม แม้ไม่รู้ว่าใครจะเป็นคนเก็บไป เพราะมีความน่าจะเป็นที่จะชนะมากกว่า ยกเว้นกรณีที่เราเป็นผู้เล่นคนที่ 3 ที่จะต้องเก็บเพชรทุกเม็ด ไม่เช่นนั้นจะมีโอกาสแพ้ทุกคน

ในทำนองเดียวกัน หากเราไม่รู้ว่าเพชรเม็ดไหนในห้องเป็นเพชรแท้แล้ว เราควรทิ้งเพชรเหล่านั้นไว้ดังเดิม เพราะมีความน่าจะเป็นที่จะชนะมากกว่า ยกเว้นกรณีที่เราเป็นผู้เล่นคนที่ 3 ที่จะต้องเก็บเพชรทุกเม็ด ไม่เช่นนั้นจะมีโอกาสแพ้ทุกคน

ถ้าผู้เล่นทุกคนใช้แผนการเล่นแบบนี้หมด เพชรแท้จะต้องถูกเก็บโดยผู้เล่นคนที่ 3 แน่นอน ทำให้เกมนี้ผู้เล่นคนที่ 1 และ 2 เป็นผู้ชนะ

ส่วนนี่เป็นรูปจากการ์ตูนส่วนที่เหลือครับ

ตัวอย่างโค้ด

C Code:

1. #include <stdio.h>
2. #include <string.h>
3.  
4. void doSomething(int iPerson, int *piDiamondRoom, int iRealDiamondPos, int iDiamondIdx);
5.  
6. int main(int argc, char* argv[])
7. {
8.     int arDiamondRoom[4];   /* บอกว่ามีเพชรของใครวางทิ้งไว้ในห้อง */
9.     int iRealDiamondPos = 0;    /* บอกว่าตอนนี้เพชรแท้เก็บไว้ที่ใคร, ค่า 0 หมายถึงเพชรจริงยังเก็บไว้ในห้อง */
10.    
11.     memset(arDiamondRoom, 0x00, sizeof(arDiamondRoom));
12.    
13.     arDiamondRoom[0] = 1;   /* วางเพชรแท้ 1 เม็ด ในห้อง, arDiamondRoom[0] หมายถึงตำแหน่งที่เก็บเพชรแท้ */
14.    
15.     doSomething(1, arDiamondRoom, 0, -1);
16.    
17.     return 0;
18. }
19.  
20. void doSomething(int iPerson, int *piDiamondRoom, int iRealDiamondPos, int iDiamondIdx)
21. {
22.     int arDiamondRoom[4];
23.  
24.     int iKeepDiamondFlg;
25.     int iDropDiamondFlg;
26.    
27.     memset(arDiamondRoom, 0x00, sizeof(arDiamondRoom));
28.     memcpy(arDiamondRoom, piDiamondRoom, sizeof(arDiamondRoom));
29.  
30.     if(iDiamondIdx == -1)    /* ขั้นตอนเริ่มต้นของแต่ละคน */
31.     {
32.         /* วางเพชรปลอมของตนเองทิ้งไว้หรือไม่ */
33.         for(iDropDiamondFlg = 0; iDropDiamondFlg < 2; iDropDiamondFlg++)
34.         {
35.             arDiamondRoom[iPerson] = iDropDiamondFlg;
36.             doSomething(iPerson, arDiamondRoom, iRealDiamondPos, 0);    /* พิจารณาเพชรที่วางทิ้งไว้ในห้อง */
37.         }
38.     }
39.     else if(iDiamondIdx < iPerson)  /* พิจารณาว่าจะเก็บเพชรเม็ดไหนไว้หรือไม่ */
40.     {
41.         /* พบเพชรอันหนึ่ง */
42.         if(arDiamondRoom[iDiamondIdx] > 0)
43.         {
44.             /* เก็บเพชรนั้นไว้กับตนเองหรือไม่ */
45.             for(iKeepDiamondFlg = 0; iKeepDiamondFlg < 2; iKeepDiamondFlg++)
46.             {
47.                 arDiamondRoom[iDiamondIdx] = iKeepDiamondFlg;
48.                 if(iDiamondIdx == 0 && iKeepDiamondFlg == 0)
49.                     doSomething(iPerson, arDiamondRoom, iPerson, iDiamondIdx+1);    /* พิจารณาเพชรที่วางทิ้งไว้อันถัดไป */
50.                 else
51.                     doSomething(iPerson, arDiamondRoom, iRealDiamondPos, iDiamondIdx+1);    /* พิจารณาเพชรที่วางทิ้งไว้อันถัดไป */
52.             }
53.         }
54.         else
55.             doSomething(iPerson, arDiamondRoom, iRealDiamondPos, iDiamondIdx+1);    /* พิจารณาเพชรที่วางทิ้งไว้อันถัดไป */
56.     }
57.     else if(iPerson < 3)    /* ให้คนถัดไปเข้าห้อง */
58.         doSomething(iPerson+1, arDiamondRoom, iRealDiamondPos, -1);
59.     else        /* เข้าห้องครบทั้ง 3 คนแล้ว */
60.     {
61.         /* แสดงผลลัพธ์สุดท้าย */
62.         /* เพชรแท้เก็บไว้ที่ใคร, [เพชรแท้วางทิ้งไว้ในห้องหรือไม่, เพชรปลอมของคนที่ 1 วางทิ้งไว้หรือไม่, เพชรปลอมของคนที่ 2 วางทิ้งไว้หรือไม่, เพชรปลอมของคนที่ 3 วางทิ้งไว้หรือไม่] */
63.         printf("%d, [%d : %d : %d : %d]\n", iRealDiamondPos, arDiamondRoom[0], arDiamondRoom[1],arDiamondRoom[2],arDiamondRoom[3]);
64.     }
65. }

[Nutty]

แต่คนที่3ไม่จำเป็นต้องหยิบนี่คับ
ถ้ารู้ว่าหยิบแล้วจะโดนทาย
ก้ไม่หยิบมันออกมาก็สิ้นเรื่อง
แพ้เหมือนกัน

[midnight]

ถ้าไม่ได้ปรึกษากัน คนที่1 หรือ 2 ก็จะไม่รู้ว่าคนที่ 3 หรืออีกคนเป็นคนหยิบนี่คะ

ว่าแต่ไม่เคยเห็นการ์ตูนเรื่องนี้มาก่อนเลยนะคะเนี่ย

[Mathophile]

การ์ตูนส่วนที่เหลือเป็นยังไงหรอครับ ทำไมคนที่สองถึงต้องตกใจขนาดนั้น

[au]

รูปไม่ขึ้นอะครับ

[TOP]

ใส่รูปที่หมดอายุเข้ามาใหม่

[meiji]

เกมดีๆๆสนุก

[จตุราชา]

สนุกดีครับ

[king_killer]

การ์ตูนเรื่องไรคับอยากอ่าน

[MR.Quest]

มันดีนะแต่ยากไปหน่อย