ช่วยพิสูจน์อนุกรม p ทีครับ

[silent-a]

คือตอนนี้รู้แล้วว่าการทดสอบอนุกรม p ในรูปแบบของ 1/n^p

จะใช้วิธี Integral test

แต่ทีนี้ปัญหาคือ พอหาปริพันธ์ออกมาแล้วหาลิมิตเพื่อที่จะหาค่า p ไม่ได้

เลยอยากรู้ว่าทำยังไงครับ ถึงจะรู้ว่า อนุกรมลู่เข้าถ้า P>1 และลู่ออกถ้า P</=1

[Ai-Ko]

ลองวาดกราฟของ $y=\tfrac{1}{x^p}$ แล้วพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านกว้าง $1 $หน่วย มีมุมขวาบนเป็นพิกัด $(n,\tfrac{1}{n^p})$ ตั้งแต่ $n \geq 2$ ขึ้นไป จะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้น้อยกว่าพื้นที่ใต้กราฟทั้งแต่ $1$ ถึงอนันต์ นั่นคือ

$$\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots < \int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$$

จริงๆ อนุกรม $p$ คือฝั่งซ้ายบวกด้วย $1$ แต่เนื่องจากเราต้องการดูเพียงว่าอนุกรม $p$ ลู่เข้าหรือลู่ออกที่ค่า $p$ นั้น การเพิ่มหรือลบออกจำกัดพจน์ (ในที่นี้คือพจน์แรก) จึงไม่มีผลต่อสมบัติลู่เข้า ดังนั้นหากแสดงได้ว่าฝั่งขวามีค่าจำกัด ก็จะได้ว่าอนุกรม $p$ ลู่เข้าที่ค่า $p$ นั้น. ในที่นี้

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx = \left [ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right ]_1^\infty$$

ดังนั้นจึงแบ่งได้เป็นสองกรณี

• $p > 1$ จะได้ว่า $\alpha=p-1>0$ นั่นคือ $\left [\frac{x^{1-p}}{1-p}\right ]_1^\infty = \displaystyle{\lim_{R \to \infty}} \left [\frac{x^{-\alpha}}{(1-p)}\right ]_1^R = \displaystyle{\lim_{R \to \infty}} \tfrac{1}{1-p} (\tfrac{1}{R^\alpha} - 1) = \tfrac{1}{p-1} < \infty$ กรณีนี้จึงสรุปได้ว่าอนุกรม $p$ ลู่เข้าบนช่วง $p > 1$
• $p \leq 1$ จะได้ว่า $\beta=1-p>0$ นั่นคือ $\left [\frac{x^{1-p}}{1-p}\right ]_1^\infty = \displaystyle{\lim_{R \to \infty}} \left [\frac{x^{\beta}}{(1-p)}\right ]_1^R = \displaystyle{\lim_{R \to \infty}} \tfrac{1}{1-p} (R^\beta - 1) = \infty$ กรณีนี้ยังสรุปอะไรไม่ได้

การพิสูจน์ว่าอนุกรม $p$ ลู่ออกบน $p \leq 1$ทำได้โดยการพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านกว้าง $1$ หน่วย แต่คราวนี้ยึดมุมซ้ายบนเป็นพิกัด $(n,\tfrac{1}{n^p})$ เมื่อ $n \geq 1$ แทน จากรูปจะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้มีค่ามากกว่าพื้นที่ใต้โค้งจาก $1$ ถึงอนันต์ นั่นคือ

$$1+\frac{1}{2^p}+\ldots > \int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$$

ฝั่งขวาเราได้คำนวณแล้วก่อนหน้านี้ (ในกรณี $p \leq 1$) ว่ามีค่าเป็นอนันต์ คราวนี้จึงสรุปว่าอนุกรม $p$ ลู่ออกบนช่วง $p \leq 1$ ได้

ปล. การพิสูจน์ว่าอนุกรม $p$ ลู่ออกบน $p \leq 1$ อาจจะทำได้ง่ายกว่าโดยการเปรียบเทียบกับอนุกรม harmonic (หรือก็คือกรณี $p=1$ นั่นเอง) ซึ่งมีวิธีที่ไม่ต้องใช้แคลคูลัสแสดงได้หลายแบบว่าลู่ออก