ฟังก์ชันเลขคณิต เกี่ยวกับ หรม. กำลังสอง

[PP_nine]

ให้ $A$ คือ Complete Residue System modulo $n$ ที่เป็นบวกน้อยสุด

นิยาม $\beta (n)=$ จำนวนของคู่อันดับ $(a,b) \in A^2$ ซึ่ง $(n,a^2+b^2)=1$


อยากทราบว่าฟังก์ชันนี้จะสามารถหารูปทั่วไปได้หรือเปล่าครับ ข้องใจมานานแล้วแต่ก็ยังคิดไม่ออก

ได้แค่ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$,
$$\beta (p)= \cases{(p-1)^2 & , p \equiv 1 \pmod{4} \cr p^2-1 & , p \equiv 3 \pmod{4}} $$
และก็ขยายไปเป็น perfect power ของจำนวนเฉพาะคือ
$$\beta (p^a)= \cases{2^{2a-1} & , p=2 \cr p^{2a-2}(p-1)^2 & , p \equiv 1 \pmod{4} \cr p^{2a-2}(p^2-1) & , p \equiv 3 \pmod{4}} $$
นอกจากกรณีนี้แล้วก็ยังไปไม่ถูกเลย

[Ai-Ko]

ไม่รู้ตอบตอนนี้จะสายเกินไปรึเปล่านะเจ้าคะ แต่น่าจะได้คำตอบสำหรับกรณีเต็มแล้ว เราแสดงได้ว่า $(m,n)=1$ แล้ว
$$\beta(mn)=\beta(m)\beta(n)$$
ที่เหลือก็อาศัยผลลัพธ์ที่แสดงไว้แล้วของ $\beta(p^a)$ ในกรณีต่างๆ มาคูณกันก็เสร็จเจ้าค่ะ

[PP_nine]

ถ้าไม่รบกวนช่วยแสดงที่เป็นฟังก์ชันแยกคูณหน่อยครับ

ตอนแรกก็คาดไว้แล้วแหละว่าต้องแยกคูณ แต่ยังคิดไม่ออกเลยครับ

[IPST_Challenge]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ถ้าไม่รบกวนช่วยแสดงที่เป็นฟังก์ชันแยกคูณหน่อยครับ

ตอนแรกก็คาดไว้แล้วแหละว่าต้องแยกคูณ แต่ยังคิดไม่ออกเลยครับ

แสดงได้ไหมครับว่าถ้า $(m,n)=1$ และ $(m,a_m^2+b_m^2)=1, (n,a_n^2+b_n^2)=1$
แล้วจะได้ว่า $(mn,a^2+b^2)=1$ โดยที่ $a\equiv a_m\pmod m, a\equiv a_n\pmod n, b\equiv b_m\pmod m, b\equiv b_n\pmod n$

[PP_nine]

ตอนนี้แก้ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ
จริงๆมันขยายเป็นฟังก์ชันพหุนามใดๆเลยก็ได้ครับ ซึ่งครอบคลุม $a^2+b^2$ อยู่แล้ว