อสมการอตรรกยะ

[poper]

อยากทราบวิธีแก้อสมการแบบไม่ใช้กราฟอ่ะครับ ว่าทำได้หรือไม่ แล้วมีวิธีการอย่างไรบ้างครับ

1.$\sqrt{x+2}-1\leqslant \sqrt{x-1}$

2.$\sqrt{x-4}+1\leqslant \sqrt{x-1}$

3.$\sqrt{1-x}+1\leqslant \sqrt{x+4}$

4.$\sqrt{3-x}-1\leqslant \sqrt{x+2}$

รบกวนด้วยนะค้าบบบบบ

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

อยากทราบวิธีแก้อสมการแบบไม่ใช้กราฟอ่ะครับ ว่าทำได้หรือไม่ แล้วมีวิธีการอย่างไรบ้างครับ

1.$\sqrt{x+2}-1\leqslant \sqrt{x-1}$

$\sqrt{x+2}-1\leqslant \sqrt{x-1}$

$(\sqrt{x+2}-1)^2\leqslant x-1$

$x+2-2\sqrt{x+2}+1\leqslant x-1$

$4\leqslant 2\sqrt{x+2}$

$x\geqslant 2$

[passer-by]

4 อสมการนี้ใช้วิธีแก้ สไตล์เดียวกันครับ

ให้ 2 ฝั่งเป็นบวก แล้วค่อยยกกำลังสอง (เพื่อตัดปัญหาเครื่องหมายลบยกกำลังสอง อาจจะเกินฝั่งขวา) จากนั้นเอาคำตอบสุดท้าย มา intersect กับ ค่าใน square root $ \geq 0$ ก็จบครับ

อย่างในที่นี้ ข้อไหนเป็น -1 ก็ผลักไปทางขวาแล้วยกกำลังสอง ข้อไหน +1 อยู่แล้ว ก็ยกกำลังสองไปเลยครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

4 อสมการนี้ใช้วิธีแก้ สไตล์เดียวกันครับ

ให้ 2 ฝั่งเป็นบวก แล้วค่อยยกกำลังสอง (เพื่อตัดปัญหาเครื่องหมายลบยกกำลังสอง อาจจะเกินฝั่งขวา) จากนั้นเอาคำตอบสุดท้าย มา intersect กับ ค่าใน square root $ \geq 0$ ก็จบครับ

อย่างในที่นี้ ข้อไหนเป็น -1 ก็ผลักไปทางขวาแล้วยกกำลังสอง ข้อไหน +1 อยู่แล้ว ก็ยกกำลังสองไปเลยครับ

ขอบคุณ ท่าน passer-by มากครับ ถ้าทำตามที่ท่าน passer-by แนะนำมา
จะมีปัญหากับข้อที่ 3. น่ะครับ T T

$\sqrt{1-x}+1\leqslant \sqrt{x+4}$ แก้อสมการแล้วได้ $[-4,-3]\cup[0,1]$

แต่คำตอบจริงๆมันแค่ $[0,1]$ อ่ะครับ ช่วงที่เกินมาไม่รู้ว่ามันมีเงื่อนไขอะไรให้ตัดออกหรือไม่ครับ

[passer-by]

ระหว่างทางที่แก้ข้อนี้ มันเกิดอสมการ $ \sqrt{1-x} \leq x+1 $ ครับ

แสดงว่าขวามือเป็นบวก ตัดช่วง [-4,-3] ทิ้งไปได้ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ระหว่างทางที่แก้ข้อนี้ มันเกิดอสมการ $ \sqrt{1-x} \leq x+1 $ ครับ

แสดงว่าขวามือเป็นบวก ตัดช่วง [-4,-3] ทิ้งไปได้ครับ

อ้อ..ขอบคุณครับผม ทีนี้เหลือข้อ 4. สุดท้ายครับ

ถ้าทำตามวิธีจะได้คำตอบคือ $[-1,2]$ แต่คำตอบจริงๆคือ $[-1,3]$ อ่ะครับ รบกวนด้วยนะครับ

[passer-by]

เงื่อนไขใน square root คือ $ [-2,3]$

แก้อสมการมาถึง จุดหนึ่งจะได้ $ x+ \sqrt{x+2} \geq 0 $

$ \sqrt{x+2} \geq -x $

ตรงนี้้ต้องระวังครับ เพราะฝั่งขวาไม่รู้ว่า บวกหรือลบ ถ้ายกกำลังสองเลย คำตอบจะหายได้

แบ่งกรณีก่อนครับ

(1) ถ้า $ x \geq 0 $ จริงเสมอ โดยได้ขวามือเป็นลบ ซ้ายเป็นบวก เพราะฉะนั้น คำตอบส่วนแรก คือ [0,3]

(2) ถ้า $ x <0 $ ตรงนี้ ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้างได้ เพราะ same sign ทั้ง 2ฝั่ง ดังนั้นคำตอบส่วนนี้ คือ [-1,0) ไป intersect กับ [-2,3] ก็จะได้ [-1,0)

union 2 กรณี ได้ [-1,3] ครับ

[poper]

โอ้ววววววววว ขอบคุณมากๆเลยครับ ท่าน passer-by จากที่ท่านแนะนำ

ผมจะสรุปหลักการแบบนี้ได้มั้ยครับ คือก่อนที่จะยกกำลังสอง ควรทำให้ทั้งสองข้างของอสมการเป็นบวกแน่ๆก่อน

แต่ถ้าไม่ทราบแน่นอนว่าเป็นบวก หรือลบ ให้แบ่งกรณี เพื่อหาคำตอบ โดยดูเงื่อนไขใน square root ด้วย แล้วจึงนำแต่ละกรณีมายูเนียนกัน

ดังนั้น ข้อที่3. ก็จะทำได้เช่นเดียวกับข้อที่4. คือเมื่อถึงขั้น $\sqrt{1-x}\leqslant x+1$

ก็แบ่งกรณีเป็น $x\geqslant -1$ และ $x<-1$ ก็จะได้คำตอบตรงกัน

[หยินหยาง]

คุณหนุ่มผมยาวยังมีเวลามาตั้งกระทู้ถามแสดงว่าไม่ได้โดนน้ำพัดพาไป เห็นข่าวแล้วจังหวัดที่อยู่โดนหนักเหมือนกัน ขอให้โชคดีนะครับ

เคยถามไปแล้วลองดูกระทู้เก่าตามนี้เลยครับ เผื่อเป็นอีกแนวทางหนึ่ง

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=20

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

คุณหนุ่มผมยาวยังมีเวลามาตั้งกระทู้ถามแสดงว่าไม่ได้โดนน้ำพัดพาไป เห็นข่าวแล้วจังหวัดที่อยู่โดนหนักเหมือนกัน ขอให้โชคดีนะครับ

เคยถามไปแล้วลองดูกระทู้เก่าตามนี้เลยครับ เผื่อเป็นอีกแนวทางหนึ่ง

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=20

ขอบคุณท่าน หยินหยางมากครับผม จะลองนำวิธีที่แนะนำไปคิดต่อดูครับ

บ้านผมยังไม่ท่วมครับ แต่ในตลาดท่วมบ้างแล้ว ยังหวั่นๆอยู่เหมือนกัน ขอบคุณที่เป็นห่วงนะครับ

ปล. คิดถึงทุกๆท่านใน mct นะครับ บางท่านหายหน้าหายตาไปเลย ส่วนผมก็ยังแวะเวียนมาเรื่อยๆครับ

[nuclearomme]

ขอโทษนะคะะ ข้อ 3 ทำไมคิดมาได้ $x^2 + 5x + 3\geqslant 0$ แล้วคิดต่อไม่ออกแล้ว ไม่เห็นเท่าที่เฉลยเลย orz ช่วยหน่อยได้มั้ยคะ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nuclearomme

ขอโทษนะคะะ ข้อ 3 ทำไมคิดมาได้ $x^2 + 5x + 3\geqslant 0$ แล้วคิดต่อไม่ออกแล้ว ไม่เห็นเท่าที่เฉลยเลย orz ช่วยหน่อยได้มั้ยคะ

ทำไมออกมาเป็นแบบนั้นล่ะครับ

$\sqrt{1-x}+1\leqslant \sqrt{x+4}$

ยกกำลังสองครั้งแรก

$2-x+2\sqrt{1-x}\leqslant x+4$

$2\sqrt{1-x}\leqslant 2x+2$

$\sqrt{1-x}\leqslant x+1$ ซึ่งถ้ายกกำลังสองอีกครั้งก็จะได้ว่า

$1-x\leqslant x^2+2x+1$

$x^2+3x\geqslant 0$ นะครับ