|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#2
01 ตุลาคม 2020, 21:55
|
||||
|
||||
มี series ตัวนึงค่อนข้างน่าสนใจครับ กำหนดให้ sequence $a_n = \cases{-1 & , n\not =m^{2020};\exists m \cr 2020n^{\frac{1}{2020}}-1 & \text{ถ้า $n$ เป็นกำลัง $2020$ สมบูรณ์}} $ เราจะได้ว่า $$\sum_{n\ge 1}\dfrac{a_n}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{1\le k\le n}\dfrac{1}{k}-\log n\right)=\gamma\approx 0.5772$$
Use the fact that $\displaystyle\sum_{n\le x}\dfrac{1}{n}=\log x+\gamma+O\left(\dfrac{1}{n}\right)$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 01 ตุลาคม 2020 21:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง 
|
|
#3
02 ตุลาคม 2020, 07:36
|
||||
|
||||
|
มีเอกลักษณ์ นำเสนอ
เหล่าจอมยุทธ อย่าออเออ เล่นดูเวอร์ ตามกันไป โปรดร่วมกัน อภิปราย ช่วยชี้แจ้ง แถลงไข ไล่ตัวเลข สนิทใจ ใครต่อใคร เห็นตรงกัน เอกลักษณ์ มีชื่อเรียก Fractorial เศษส่วนย่อย เรียงตัวเลข บวกกันไป น่าตกใจ ใครนิยาม $\frac{1}{1!}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}...$ $\frac{1}{2!}=\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+\frac{5}{6!}+...$ $\frac{1}{3!}=\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+\frac{5}{6!}+\frac{6}{7!}...$ ... ... $\frac{1}{n!}=\frac{n}{(n+1)!}+\frac{(n+1)}{(n+2)!}+\frac{(n+2)}{(n+3)!}+\frac{(n+3)}{(n+4)!}+...$ หรือ $$\frac{1}{k!}=\sum_{n = k}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#5
02 ตุลาคม 2020, 10:53
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ดังนั้นเเล้ว $$\dfrac{1}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{k}{(k+1)!}=\left(\sum_{k\le n}\dfrac{n}{(n+1)!}\right)-\dfrac{k}{(k+1)!}=\sum_{k+1\le n}\dfrac{n}{(n+1)!}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 02 ตุลาคม 2020 10:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
|
|
#6
02 ตุลาคม 2020, 12:01
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
$$e-1=\frac{1^2}{2!}+\frac{2^2}{3!}+\frac{3^2}{4!}+\frac{4^2}{5!}+\frac{5^2}{6!}+...$$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#7
02 ตุลาคม 2020, 15:43
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ไม่แน่ใจเรื่องเลขนะครับ แต่น่าจะเป็นประมาณนี้ ฝั่งขวาคือ $$\sum_{n\ge 1} \dfrac{(n-1)^2}{n!}=\sum \dfrac{n}{(n-1)!}-2\sum \dfrac{1}{(n-1)!}+\sum \dfrac{1}{n!}=2e-2e+(e-1)=e-1$$ เพราะว่า$$ \sum \dfrac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=xe^x+e^x$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 02 ตุลาคม 2020 16:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
|
|
#8
03 ตุลาคม 2020, 00:14
|
|||
|
|||
|
"ลำดับ"นั้น เรียงเลข เป็นระบบ จากเริ่มต้น จนจบ มิแปรผัน พจน์ติดกัน ลบกัน ค่าเท่ากัน จำให้มั่น "ลำดับ เลขคณิต" พจน์ติดกัน หารกัน เท่ากันหมด จงรีบจด จำไว้ ในดวงจิต เรียกว่า"ลำ- ดับเร- ขาคณิต" เขียนต่อติด กันไป ถึงปลายทาง หากจำนวน พจน์นั้น มีจำกัด เรียก"ลำดับ จำกัด" สมดังอ้าง หากพจน์นั้น เพิ่มไป ไม่เว้นวาง เรียกอีกอย่าง ว่า"ลำ- ดับอนันต์" "อนุกรม" ผลบวก ของลำดับ รวมทุกพจน์ ผลลัพธ์ เอกฉันท์ อันผลรวม ของลำ- ดับอนันต์ เรียก"อนุกรม อนันต์" คู่กันไป "อนุกรม จำกัด" จำกัดสิทธิ "อนุกรม เลขคณิต" คิดเองได้ "อนุกรม เรขา คณิต"ไซร้ ชื่อลำดับ นั่นไง ใช้เหมือนเรา ค่า limit ลำดับ an เท่ากับศูนย์ จะสมบูรณ์ อนุกรม ต้องลู่เข้า หาก limit เป็นอื่น เกินคาดเดา อนุกรม นั้นเล่า ลู่ออกเอย. Marwin Pantip
|
|
#9
07 ตุลาคม 2020, 07:59
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ไม่หลากหลาย จะกลับกลาย คับแคบ ไม่ประสงค์ ถ้าเคล้ากัน แบ่งปัน นั้นมั่นคง อย่าทะนง ไม่ตรง ไปตรงมา ผลรวม...เลขคณิต-เรขาคณิต... ผลรวมของความสัมพันธ์ผสมที่อยู่ในรูป... $$(a_1)[a_1']+(a_1+d)[a_1'r]+(a_1+2d)[a_1'r^2]+...+(a_1+(n-1)d)[a_1'r^{(n-1)}]...โดยที่...|r|<1$$ ผลรวมจะลู่เข้าสู่...$a_1(\frac{a_1'}{1-r})+d(\frac{a_1'r}{(1-r)^2})$ อ้างอิง:
$$(\frac{1}{1^2})(\frac{1}{1^2})+(\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})+(\frac{1}{3^2})( 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})+(\frac{1}{4^2})( 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2})+... =\frac{7}{360}\pi ^4$$ เครดิต:ออยเลอร์
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#11
08 ตุลาคม 2020, 00:15
|
||||
|
||||
|
*(L.Euler)*
$$\dfrac{1}{1^2}\left(\dfrac{1}{1^2}\right)+\dfrac{1}{2^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\dfrac{1}{3^2}\cdot\le ft(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)+\dfrac{1}{4^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\df rac{1}{4^2} \right)+\dots =\dfrac{7\pi ^4}{360}$$ ให้ $\mathscr M$ คือก้อนทางซ้าย เนื่องจาก $\displaystyle \zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}, \zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90}$ $\displaystyle\mathscr M =\zeta(2)^2-\left(\dfrac{1}{2^2}\left(\dfrac{1}{1^2}\right)+\dfrac{1}{3^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\dfrac{1}{4^2}\left(\df rac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)+\dfrac{1}{5^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2} \right)+\dots\right)$ $\displaystyle =\zeta(2)^2-\left(1-\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)-\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}\right)-\dfrac{1}{4^4}+\dots\right)$ $=\zeta(2)^2-\left(\mathscr M-\zeta(4)\right)$ $\therefore \mathscr M=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi^4}{36}+\dfrac{\pi^4}{90}\right)=\dfrac{7\pi^4}{360}$ ตามต้องการ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 08 ตุลาคม 2020 00:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
|
| |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| Sequences and Series Marathon | Timestopper_STG | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 161 | 01 พฤษภาคม 2015 16:45 |
| sequences รบกวนช่วยหน่อยครับ | nutz-math | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 2 | 31 สิงหาคม 2013 23:05 |
| Series | Lekkoksung | Calculus and Analysis | 6 | 15 มกราคม 2012 11:04 |
| On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | warut | งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 28 เมษายน 2007 00:28 |
| Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
|
|
