Marathon - มัธยมต้น

[กระบี่ไร้คม]

โจทย์เรื่องมุมสำหรับเด็ก (อันนี้ไม่ยากมาก และมีวิธีทำหลายวิธี)
สามเหลี่ยม ABC จุด P เป็นจุดภายในทำให้ $2\angle PAB=2\angle PBA=2\angle PBC=\angle PAC=30^๐$
ขนาดของ BPC เป็นเท่าไร[/quote]

ผมได้112.5องศาไม่แน่ใจเลยครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ไร้คม

โจทย์เรื่องมุมสำหรับเด็ก (อันนี้ไม่ยากมาก และมีวิธีทำหลายวิธี)
สามเหลี่ยม ABC จุด P เป็นจุดภายในทำให้ $2\angle PAB=2\angle PBA=2\angle PBC=\angle PAC=30^๐$
ขนาดของ BPC เป็นเท่าไร

ผมได้112.5องศาไม่แน่ใจเลยครับ[/quote]

ยังไม่ใช่ครับ ตอนนี้ผมคิดข้อนี้ได้ 4 วิธีครับ
hint สำหรับวิธีที่1. ลากตั้งฉากแล้วใช้ตรีโกณช่วย (มุม30-60-90 อ่ะครับผมไม่ค่อยชอบวิธีนี้เลย)
hint สำหรับวิธีที่2. แบ่งครึ่งมุม PAC
hint สำหรับวิธีที่3. สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า
สำหรับวิธีที่ 4 ผมว่ายากเกินไปสำหรับม.ต้นครับ (แต่ตัดรูปเหมือนเดิม) ขอล่ะไว้

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ตอบ 135 ใช่ไหมครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ตอบ 135 ใช่ไหมครับ

ใช่แล้วครับ ขอวิธีทำด้วยครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมก็แค่รู้ว่าโจทย์นี้มุม$PCB$=$30^๐$
จากแนวคิดของโจทย์ข้อแล้วๆมาน่ะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ยังไม่ใช่ครับ ตอนนี้ผมคิดข้อนี้ได้ 4 วิธีครับ
hint สำหรับวิธีที่1. ลากตั้งฉากแล้วใช้ตรีโกณช่วย (มุม30-60-90 อ่ะครับผมไม่ค่อยชอบวิธีนี้เลย)
hint สำหรับวิธีที่2. แบ่งครึ่งมุม PAC
hint สำหรับวิธีที่3. สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า
สำหรับวิธีที่ 4 ผมว่ายากเกินไปสำหรับม.ต้นครับ (แต่ตัดรูปเหมือนเดิม) ขอล่ะไว้

ผมให้อีกวิธีแค่ดูรูปก็ได้คำตอบแล้วครับ

[banker]

กระทู้นี้ก็ตกขอบไปแล้ว ขุดขึ้นมาใหม่ครับ

อันนี้ง่ายกว่า Marathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ]



โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มลูกเต๋าทั้งสองไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

จงแสดงวิธีทำ พร้อมคำตอบ

1. $\frac{5}{12}$
2. $\frac{6}{12}$
3. $\frac{7}{12}$
4. $\frac{8}{12}$

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

กระทู้นี้ก็ตกขอบไปแล้ว ขุดขึ้นมาใหม่ครับ

อันนี้ง่ายกว่า Marathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ]



โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มลูกเต๋าทั้งสองไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

จงแสดงวิธีทำ พร้อมคำตอบ

1. $\frac{5}{12}$
2. $\frac{6}{12}$
3. $\frac{7}{12}$
4. $\frac{8}{12}$

ทอดลูกเต๋า $2$ ลูกโอกาสที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ $36$
ผลบวกของแต้มลูกเต๋าทั้งสองไม่เป็นจำนวนเฉพาะก็มี $4,6,8,10,12$
$4 = (1,3),(3,1),(2,2) = 3$
$6 = (1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3) = 5$
$8 = (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4) = 5$
$9 = (3,6),(6,3),(4,5),(5,4) = 4$
$10 = (4,6),(6,4),(5,5) = 3$
$12 = (6,6) = 1$
รวมทั้งหมด $= 21$
$\therefore$ ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มลูกเต๋าทั้งสองไม่เป็นจำนวนเฉพาะ $=\frac{21}{36} = \frac{7}{12}$

[JSompis]

ถ้า $\frac{x^2+y^2}{xy}= 6$ แล้ว $\sqrt{\frac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+5x^2y^2+y^4}}$ มีค่าเท่าใด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

ถ้า $\frac{x^2+y^2}{xy}= 6$ แล้ว $\sqrt{\frac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+7x^2y^2+y^4}}$ มีค่าเท่าใด

ตัวเลขในกระดาษทดมันยุ่งเหยิงไปหมด ไม่รู้ถูกหรือเปล่า เอาคำตอบก่อนก็แล้วกัน

$\sqrt{\dfrac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+7x^2y^2+y^4}} = \sqrt{\dfrac{39}{41} }$

ตัวเลขไม่ค่อยสวย เขาอุตส่าห์ใส่รู๊ทไว้ แสดงว่าน่าจะถอดเป็นจำนวนเต็มได้

[JSompis]

ถ้าอยากให้คำตอบสวยผมขอแก้โจทย์หน่อยแล้วกัน ดูโจทย์ใหม่ครับ

[banker]

ถูกเรอะ

เอาตามโจทย์ที่แก้ใหม่ $\sqrt{\dfrac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+5x^2y^2+y^4}}$

งั้นก็มาดูวิธีถึกๆกันครับ


จัดการแยกชิ้นส่วน เอาตัวส่วนก่อน

$\because \ \ x^2+y^2 = 6xy$

$x^4+5x^2y^2+y^4 = (x^2+y^2)^2 +3x^2y^2 = (6xy)^2+ 3x^2y^2 = 39x^2y^2$

(ถึงตรงนี้เห็นคำตอบแล้วว่าเท่ากับ 1 )




ต่อไปก็จัดการตัวเศษ

$\because \ \ x^2+y^2 = 6xy$

$(x-y)^2 = 4xy$

$(x^2 -2xy+y)^2 = (4xy)^2$

$x^4+x^2y^2-2x^3y+x^2y^2+y^4-2xy^3-2x^3y-2xy^3+4x^2y^2 = 16x^2y^2$

$x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4 = 16x^2y^2 = 16x^2y^2$

$x^4 -x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4 = 16x^2y^2-7x^2y^2+5x^3y+5xy^3 = 9x^2y^2+5xy(x^2+y^2) = 9x^2y^2(6xy) = 39x^2y^2$

ดังนั้น $\sqrt{\dfrac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+5x^2y^2+y^4}} = \sqrt{\dfrac{39x^2y^2}{39x^2y^2}} =1 $



ท่านอื่นมีวิธีที่สวยงามกว่านี้ไหมครับ

[JSompis]

ตัวเศษผมทำอย่างนี้ครับ
$(x^2+y^2)^2=(6xy)^2$
$x^4+2x^2y^2+y^4 = 36x^2y^2$
$x^4+y^4 = 34x^2y^2$ ...(*)

$x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4 = x^4+y^4 -x^2y^2+ xy(x^2+y^2)$
$=34x^2y^2 - x^2y^2 + xy(6xy)$
$=34x^2y^2 - x^2y^2 + 6x^2y^2$
$=39x^2y^2$

[JSompis]

ถ้า $ax^3 + 2ax^2 – 15x + b$ หารด้วย $x + 3$ ลงตัว แต่หารด้วย $x – 1$ เหลือเศษ $-12$ แล้ว $a – b$ มีค่าเท่าใด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

ถ้า $\frac{x^2+y^2}{xy}= 6$ แล้ว $\sqrt{\frac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+7x^2y^2+y^4}}$ มีค่าเท่าใด

วิธีแก้ไขให้เป็นตัวแดงในระหว่าง tag $$ เราใช้ \color{red}{ตัวที่จะเปลี่ยนสี}

ตัวอย่าง


$\sqrt{\frac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+7x^2y^2+y^4}}$

ต้องการเปลี่ยนเลข 7 เป็นสีแดง


เติม \color{red}{ตัวที่จะเปลี่ยนสี}ดังนี้

$\sqrt{\frac{x^4-x^2y^2+x^3y+xy^3+y^4}{x^4+\color{red}{7}x^2y^2+y^4}}$


ลองดูนะครับ