โจทย์ลิมิตครับผม

[supermans]

จงหา $\lim_{x \to 0}$ $X^{sinx}$

ขอขอบคุณล่วงหน้านะครับ

[~ArT_Ty~]

0 หรือป่าวครับ

[supermans]

หายังไงอ่าาา

ได้โปรดละครับ

[Ai-Ko]

สวัสดีเจ้าค่ะ...

ก่อนอื่นถ้ามองว่า $f(x)=x^{\sin x}$ เป็นฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปจำนวนจริง จะได้ว่าฝั่ง x<0 มีจุดที่ไม่นิยามอยู่เป็นอนันต์ (เช่น $x=-\frac{1}{2^n}$) เพราะฉะนั้นจะคิดเฉพาะลิมิตจากทางขวาก็แล้วกันเจ้าค่ะ

สำหรับค่า น่าจะได้ $1$ นะเจ้าคะ... ก่อนอื่น $x^{\sin x}=e^{(\sin x)(\ln x)}$ ดังนั้นหา \(\lim_{x \to 0^+} (\sin x)(\ln x)\) ก็เพียงพอเจ้าค่ะ. ทีนี้ \(\lim_{x \to 0^+} \sin x = 0\), \(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\) เราจึงเขียนใหม่ลิมิตที่จะหาใหม่เป็น \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}\) แล้วใช้กฏของ L'Hopital จะได้ว่า

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\csc x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\csc x \cot x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2 x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0^+} (\frac{\sin x}{x})^2 \frac{x}{\cos x}\]

แต่เรารู้ว่า \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\) และ \(\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\cos x} = 0\) เราจึงได้ว่าลิมิตที่ต้องการหาก่อนหน้านี้มีค่าเป็น $0$ จึงได้ในที่สุดว่า \(\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} = e^0 = 1\) เจ้าค่ะ