Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 01 มกราคม 2016, 15:28
LiveDieThisDay LiveDieThisDay ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2015
ข้อความ: 10
LiveDieThisDay is on a distinguished road
Default ช่วยเฉลยโจทย์ ทฤษฏีจำนวน หน่อยครับ

1.n เป็นจำนวนเต็มบวก $n\geqslant4$ จงแสดงว่าถ้า n+1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว $(n+1)\mid n!$

2.จงแสดงว่า $2^{100!}-1$ หารด้วย100เหลือเศษเท่าใด

3.จงแสดงว่า $1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n! <3$ ทุกจำนวนเต็มบวก n

4.จงแสดงว่า $2^{n-1}\leqslant n!$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n\geqslant 7$

5.n เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $5\mid (1^n+2^n+3^n+4^n+5^n)$ ก็ต่อเมื่อ $4\nmid n$

03 มกราคม 2016 18:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LiveDieThisDay
เหตุผล: --
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 01 มกราคม 2016, 23:32
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

hint
1. $n+1$ เป็นจำนวนประกอบแล้วมีสมบัติอะไร
2. ควรใช้ Euler's theorem นะ
3. ข้อ 4 มีประโยชน์อย่างนี้แหละ
4. induction
5. Fermat's little theorem
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 02 มกราคม 2016, 20:25
LiveDieThisDay LiveDieThisDay ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2015
ข้อความ: 10
LiveDieThisDay is on a distinguished road
Default

ช่วยเฉลย แบบ ละเอียดไห้หน่อยครับ พอดีผมจำวิธีไม่ค่อยได้แล้ว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 02 มกราคม 2016, 22:49
XIIIX XIIIX ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กุมภาพันธ์ 2014
ข้อความ: 50
XIIIX is on a distinguished road
Default

1. n+1=ab ;for some a,b in N that are less than n+1
Since n! is the product of all natural number from n down to 1, a and b which are less than n+1 must be somewhere in 1,2,...,n. Thus, the product ab=n+1 must divide n!
__________________
Mathematics, rightly viewed possesses not only truth, but supreme beauty. B.R.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 03 มกราคม 2016, 07:45
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

แล้วถ้า $a=b$ ล่ะครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 03 มกราคม 2016, 13:37
XIIIX XIIIX ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กุมภาพันธ์ 2014
ข้อความ: 50
XIIIX is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
แล้วถ้า $a=b$ ล่ะครับ
We want to show that if n+1=a^2 then n+1 l n!

The 1st a will be gone using the previous argument.

For the remaining a,

If it is a prime then before it reaches a*a=n+1 it will reach a*2, a*3,...a*(a-1). Since a*2, a*3,...,a*(a-1), which are divisible by a, are contain in n!, n+1l n!.

If it is a composite, say a=lm, then l and m must be somewhere in a!, which is contained in n!. Hence, n+1l n!.
(If l=m, then we have to continue the process until it reaches to the point that the divisor itself is a prime and we are done)
__________________
Mathematics, rightly viewed possesses not only truth, but supreme beauty. B.R.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 03 มกราคม 2016, 19:02
LiveDieThisDay LiveDieThisDay ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2015
ข้อความ: 10
LiveDieThisDay is on a distinguished road
Default

ช่วยเฉลยข้อ 1,2,5 หน่อยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 04 มกราคม 2016, 01:19
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

The case prime $a=2$ is unusable since $4 \nmid 3!$
however, the problem only state for $n \ge 4$

ดังนั้นวิธีแบบ inductive แบบนี้ก็ไม่ควรใช้ครับ เพราะมีข้อยกเว้นอยู่กรณีหนึ่ง

จริงๆกรณี composite มีวิธีที่ง่ายกว่านี้ครับ
่Consider $1 \le l < lm^2 <n+1$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

04 มกราคม 2016 01:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:53


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha