Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 25 เมษายน 2016, 17:52
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default Fighting For TMO 13

16-20 พ.ค. ก็แข่งแล้ว อยากให้ช่วยโพสต์โจทย์ที่อาจจะเป็นแนว TMO 13 หน่อยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 27 เมษายน 2016, 11:46
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

อาจจะไม่ค่อยเกี่ยวกับ TMO นะครับๆ


Solve the system of equations for $a>0$

$\displaystyle \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=a $ and $ \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=a^2 $
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 27 เมษายน 2016, 17:26
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
อาจจะไม่ค่อยเกี่ยวกับ TMO นะครับๆ


Solve the system of equations for $a>0$

$\displaystyle \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=a $ and $ \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=a^2 $


จากสมการที่ 1 ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง
จะได้ $(x+y)+(x-y)-2\sqrt{x^2-y^2}=a^2 $
$2x-2\sqrt{x^2-y^2}=a^2$
$(2x-a^2)^2=(2\sqrt{x^2-y^2})^2$
จะได้ $y^2=\frac{4a^2x-a^4}{4}$
นำสมการที่ได้แทนในสมการที่2
$\sqrt{x^2+\frac{4a^2x-a^4}{4}}+\sqrt{x^2-\frac{4a^2x-a^4}{4}}=a^2$
$\sqrt{\frac{4x^2+4a^2x-a^4}{4}}+|\frac{(2x-a^2)}{2}|=a^2$
$(\sqrt{\frac{4x^2+4a^2x-a^4}{4}})^2=(a^2-|\frac{(2x-a^2)}{2}|)^2$
ทำต่อไปอีกนิดๆ
$-3a^2+4a^2x=-2a^2|a^2-2x|$
@Case1 : $|a^2-2x|=a^2-2x$ จะได้ $a=0$ ขัดแย้งกับโจทย์ $a>0$
@Case2 : $|a^2-2x|=-(a^2-2x)$ จะได้ $x=\frac{2a^2+3}{8}$
แทนค่ากลับไปในสมการบรรทัดที่ 5 ก็ได้ y ครับ

**ไม่ค่อยมั่นใจครับ วิธียาวมาก มีแบบสั้นๆไหมครับ **

27 เมษายน 2016 18:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Nonpawit12345
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 27 เมษายน 2016, 17:30
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

มาเสริมให้ซักข้อแล้วกันนะครับ

ให้ $a_1,a_2,...,a_m$ เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่าจะมีจำนวนนับ $n$ เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้

$$1^1a_1^n+2^2a_2^n+...+m^ma_m^n$$

เป็นจำนวนประกอบ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 27 เมษายน 2016, 23:55
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ถ้า $m=2$ เเล้วก็ $a_1,a_2=1$ แล้วมันไม่จริงเปล่าครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 28 เมษายน 2016, 12:20
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

สมมติว่ามีจำนวนนับ $ n $ ป็นจำนวนจำกัดตัว
และสมมติให้ $ k $ เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่ทำให้เป็นจำนวนประกอบ แล้วพิสูจน์ว่ามันมีจำนวนที่มากกว่า $ k $ ที่ทำให่ป็นจำนวนประกอบเหมือนกัน หรือเปล่าครับ
ขอ Hint ทีครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 28 เมษายน 2016, 17:53
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ผมทำคล้ายๆ กับไอเดียที่คุณ Nonpawit12345 เสนอมาครับ


อยากให้ช่วยกันลงโจทย์หน่อยครับ ต้องเตรียมสอบ

29 เมษายน 2016 17:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 29 เมษายน 2016, 00:26
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

จงหาค่าของ

$\quad \displaystyle \sum_{1 \le x,y,z \le 10} \min (x,y,z)$

เมื่อ $\min (x,y,z)$ แทนค่าของจำนวนที่น้อยที่สุดใน $x,y,z$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

29 เมษายน 2016 02:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 29 เมษายน 2016, 10:14
vorodom's Avatar
vorodom vorodom ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 กรกฎาคม 2012
ข้อความ: 140
vorodom is on a distinguished road
Default

จงหาคำตอบสมการ
X(x+4)+3^y=383----1
y(y+6)+5^z=180-----2
z(z+10)+2^x=1063----3
ตอบ=????
__________________
IF YOU HAVE TIME DON’t WASTE IT
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 29 เมษายน 2016, 11:18
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ vorodom View Post
จงหาคำตอบสมการ
X(x+4)+3^y=383----1
y(y+6)+5^z=180-----2
z(z+10)+2^x=1063----3
ตอบ=????
x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวกใช่ๆหมครับ

29 เมษายน 2016 11:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Nonpawit12345
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 29 เมษายน 2016, 11:41
vorodom's Avatar
vorodom vorodom ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 กรกฎาคม 2012
ข้อความ: 140
vorodom is on a distinguished road
Default

ใช้ครับเป็นi+
__________________
IF YOU HAVE TIME DON’t WASTE IT
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 29 เมษายน 2016, 14:15
pont494 pont494 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 มกราคม 2011
ข้อความ: 405
pont494 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ vorodom View Post
จงหาคำตอบสมการ
X(x+4)+3^y=383----1
y(y+6)+5^z=180-----2
z(z+10)+2^x=1063----3
ตอบ=????
จาก x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก
พิจารณาสมการที่ 2
ค่าที่เป็นไปได้ของ z คือ 1,2,3
แต่ถ้า z=1 หรือ z=2 แล้ว จะได้ว่า y ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น z=3 ทำให้ y=5
แทน z=3 ในสมการที่ 3 จะได้ x=10
ดังนั้น x=10,y=5,z=3
ตรวจคำตอบโดยการแทนค่ากลับในสมการ จะพบว่าทั้งสามสมการเป็นจริง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 01 พฤษภาคม 2016, 23:30
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} $ จงหาเศษจากการหาร $a$ ด้วย $13$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 01 พฤษภาคม 2016, 23:54
pont494 pont494 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 มกราคม 2011
ข้อความ: 405
pont494 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nonpawit12345 View Post
ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} $ จงหาเศษจากการหาร $a$ ด้วย $13$
$a=\frac{23!}{1} + \frac{23!}{2} + \frac{23!}{3} + ... + \frac{23!}{22} +\frac{23!}{23} \equiv \frac{23!}{13} (mod 13) $
$\equiv 12! \cdot 14\cdot 15\cdot ...\cdot 23 (mod 13)$
จาก Wilson's theorem จะได้
$a \equiv (-1) \cdot 14\cdot 15\cdot ...\cdot 23 (mod 13)$
$\equiv (-1) \cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot 10 (mod 13)$
$\equiv (-1)(6!)(-6)(-5)(-4)(-3) (mod 13)$
$\equiv (-1)(720)(360) (mod 13)$
$\equiv (-1)(5)(9) \equiv -45 \equiv 7 (mod 13)$
$\therefore $ เศษจากการหาร $a$ ด้วย $13$ คือ $7$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 02 พฤษภาคม 2016, 01:00
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

จงหา $ f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมด
ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$ g(f(x+y))=f(x)+(2x+y)g(y) $ สำหรับทุก $x,y$ เป็นสมาชิกของจำนวนจริง

อีก ประมาณ 2 สัปดาห์ครับ
__________________
MD:CU
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Fighting for TMO12 !! FranceZii Siriseth ข้อสอบโอลิมปิก 63 15 มิถุนายน 2015 07:43

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:28


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha