ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ

[Switchgear]

สำหรับใครที่ชอบศึกษา Diophantine Problems ผมแนะนำให้ศึกษาพื้นฐานจากหนังสือแนว ทฤษฎีจำนวน ทั้งหลายก่อน

แต่หนังสือทฤษฎีจำนวนที่มีอยู่ทั่วไป ศึกษาแล้วก็ยังไม่มีทางแก้โจทย์ซับซ้อนอย่างในกระทู้นี้ได้ (เว้นแต่หัวดี และคิดต่อได้เอง)
ฉะนั้นขอแนะนำให้ใช้ Google ค้นหาและ Download หนังสือชื่อ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael
มาอ่านเพิ่มเติม ซึ่งเล่มนี้แหละที่จะช่วยให้แก้โจทย์ระดับยากขึ้นของ Diophantine Problems ได้

ที่สำคัญหนังสือ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael หมดลิขสิทธิ์ไปแล้ว จึง Download ได้เลย
ส่วนว่าจะค้นเจอหรือไม่ ผมทิ้งไว้ให้ลองฝึกเอง เพื่อให้เกิดทักษะในการค้นหาเล่มอื่นต่อไป (ไม่ฝึกก็ไม่เก่ง )
.

[Switchgear]

สำหรับโจทย์โหดหินทั้ง 24 ของกระทู้นี้ ไม่ได้มาจากหนังสือ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael
ส่วนว่าขุดมาจากไหน คงต้องอุบไว้ก่อน

ยังไงก็ตามแบบฝึกหัดท้ายบทใน Diophatine Analysis ก็มักจะคล้ายหรือตรงกับโจทย์ในกระทู้นี้ (แต่ไม่มีเฉลย)
.

[Switchgear]

ระหว่างนี้ยังไม่ว่างเฉลยข้อที่ 2 แต่เอาปัญหาข้อที่ 3 มาให้คิดกันก่อน เผื่อใครจะลองนั่งคิดดู

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 3:
It is required to find three whole numbers in arithmetical progression, such that
their common difference shall be a cube;
the sum of any two, diminished by the third, a square;
and the sum of the roots of these squares a square.

ปัญหาข้อ 3:
จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต ซึ่ง
ผลต่างร่วมต้องเป็นจำนวนยกกำลังสาม;
ผลรวมทีละสองจำนวนลบด้วยจำนวนที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสอง;
ผลรวมรากของจำนวนยกกำลังสองเหล่านี้เป็นจำนวนยกกำลังสอง.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

โจทย์ข้อนี้ดูคล้ายกับข้อที่ 2 มาก เพียงแต่เงื่อนไขซับซ้อนน้อยกว่า ซึ่งก็ไม่รู้ว่าจะคิดง่ายกว่าด้วยหรือเปล่า ?

ทิ้งโจทย์ไว้ให้ลองคิดซักพักก่อน แล้วผมค่อยมาโพสต์คำตอบให้ตรวจสอบกันอีกที :-)

[TOP]

ผมเพิ่งเห็น E-Book ออกใหม่เล่มหนึ่งชื่อ Hilbert's 10th Problem ที่กล่าวถึงปัญหาข้อที่ 10 ของ David Hilbert ที่ว่าจะมีวิธีตรวจสอบทั่วไปว่า สมการ Diophantine นั้นมีผลเฉลยหรือไม่ และต่อมาก็ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า "ไม่มีวิธีทั่วไป" เผื่อว่าจะมีใครสนใจหามาอ่านนะครับ ส่วนจะหาเจอไหมต้องลองดู แต่ถ้าหาเจอแล้วก็ต้องออกกำลังภายในกันหน่อย เพราะเว็บแห่งนั้นโดนบล็อกไว้นะครับ

At the 1900 International Congress of Mathematicians, held that year in Paris, the German mathematician David Hilbert put forth a list of 23 unsolved problems that he saw as being the greatest challenges for twentieth-century mathematics. Hilbert's 10th problem, to find a method (what we now call an algorithm) for deciding whether a Diophantine equation has an integral solution, was solved by Yuri Matiyasevich in 1970. Proving the undecidability of Hilbert's 10th problem is clearly one of the great mathematical results of the century.

This book presents the full, self-contained negative solution of Hilbert's 10th problem. In addition it contains a number of diverse, often striking applications of the technique developed for that solution (scattered previously in journals), describes the many improvements and modifications of the original proof - since the problem was "unsolved" 20 years ago, and adds several new, previously unpublished proofs.

Included are numerous exercises that range in difficulty from the elementary to small research problems, open questions,and unsolved problems. Each chapter concludes with a commentary providing a historical view of its contents. And an extensive bibliography contains references to all of the main publications directed to the negative solution of Hilbert's 10th problem as well as the majority of the publications dealing with applications of the solution.

Intended for young mathematicians, Hilbert's 10th Problem requires only a modest mathematical background. A few less well known number-theoretical results are presented in the appendixes. No knowledge of recursion theory is presupposed. All necessary notions are introduced and defined in the book, making it suitable for the first acquaintance with this fascinating subject.

Yuri Matiyasevich is Head of the Laboratory of Mathematical Logic, Steklov Institute of Mathematics, Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg.

[Switchgear]

ปัญหาทั้ง 23 ข้อของ Hilbert มาจากการบรรยายหัวข้อ Mathematical Problems เมื่อปี 1900
รายละเอียดการบรรยายทั้งหมดอ่านจาก link ข้างล่างนี้ได้เลย

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html

ว่าแต่ว่าใครมีบทแปลภาษาไทยแนะนำให้คนไม่แข็งภาษาอังกฤษอ่านได้บ้าง ?

[Switchgear]

โดยส่วนตัวผมคิดว่าการที่สมการ Diophantine ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า "ไม่มีวิธีทั่วไป" ในการหาผลเฉลยนั้น เป็นสิ่งที่ดี
เพราะจะทำให้สมการ Diophantine มีเสน่ห์ท้าทายนักคิดทั้งหลายในทุกยุคทุกสมัยต่อไป

[Switchgear]

คืนนี้หากมีสมาธิมากพอ จะพยายามเข้ามาเฉลย Problem 2 ให้ได้อ่านกัน ... รู้สึกทิ้งไว้นานมากแล้ว

เหตุผลที่ไม่เข้ามาเฉลยให้อ่านซักที เป็นเพราะมันพิมพ์ยากมาก ยุ่งเหยิงไปหมด ... ต้องรวบรวมสมาธิหน่อย

[Switchgear]

หนังสือชื่อ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael ที่ผมแนะนำไว้ในความเห็นที่ 16 นั้น
ผู้แต่งคือเจ้าของตำนาน Carmichael Number ที่รู้จักกันทั่วไปในสาขาทฤษฎีจำนวน

[Switchgear]

มาดูวิธีการหาคำตอบยุ่งๆ ของปัญหาข้อที่ 2 กันดีกว่า


Problem 2:
Find three integral numbers in arithmetical progression such that
their common difference shall be a cube;
the sum of any two, diminished by the third, a square;
the sum of the roots of the required squares an 8th power;
the first of the required squares, a 7th power, the second a 5th power, the third a biquadrate,
and the mean of the three required numbers a square.

ปัญหาข้อ 2:
จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต ซึ่ง
ผลต่างร่วมต้องเป็นจำนวนยกกำลังสาม;
ผลรวมทีละสองจำนวนลบด้วยจำนวนที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสอง;
ผลรวมรากของจำนวนยกกำลังสองเหล่านี้เป็นจำนวนยกกำลังแปด;
จำนวนยกกำลังสองตัวแรกเป็นจำนวนยกกำลังเจ็ด, ตัวที่สองเป็นจำนวนยกกำลังห้า, ตัวที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสี่,
และค่าเฉลี่ยของจำนวนเต็มทั้งสามจำนวนที่โจทย์ต้องการเป็นจำนวนยกกำลังสอง

วิธีทำ
ให้จำนวนเต็ม 3 ตัวที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต คือ $(x^2-x+1)y^2,\; (x^2+1)y^2,\; (x^2+x+1)y^2 \;\;$ ....... $(a)$
ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตมีค่าเป็น $xy^2$

ผลรวมทีละสองจำนวนลบด้วยจำนวนที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสอง นั่นคือ
$(x^2-2x+1)y^2 = sq. \;... [1],\;\;\; (x^2+1)y^2 = sq. \;... [2],\;\;\; (x^2+2x+1)y^2 = sq. \;... [3]$ ....... $(A)$
จำนวนที่ $[1]$ กับ $[3]$ เป็นกำลังสองอยู่แล้ว เราต้องทำให้จำนวนที่ $[2]$ แรกเป็นกำลังสอง โดยให้ $x^2+1 = (x-p)^2;$
หรือ $x = (p^2-1)/2p$ ทำให้จำนวนที่อยู่ใน $(A)$ กลายเป็นกำลังสองทั้งหมด คือ
$(\frac{p^2-2p-1}{2p})^2y^2 \;... [4],\;\;\; (\frac{p^2+1}{2p})^2y^2 \;... [5],\;\;\; (\frac{p^2+2p-1}{2p})^2y^2 \;... [6]$ ....... $(B)$

ผลรวมรากของจำนวนยกกำลังสองเหล่านี้เท่ากับ $(\frac{3p^2-1}{2p})y \;... [7]\;\;$ เมื่อให้ $y = pz^2$ จะได้ $(B)$ และ $[7]$ เป็น
$(\frac{p^2-2p-1}{2})^2z^4 \;... [8],\;\;\; (\frac{p^2+1}{2})^2z^4 \;... [9],\;\;\; (\frac{p^2+2p-1}{2})^2z^4 \;... [10],\;\;\; (\frac{3p^2-1}{2})z^2 \;... [11]$ ....... $(C)$
สังเกตว่าเมื่อ $p = 1$ จะทำให้ $[11]$ เป็นกำลังสอง และ $[10]$ เป็นกำลังสี่
แทน $p = q+1$ ลงไปใน $[10]$ และ $[11]$ จะได้เป็น $(\frac{q^2}{2}+2q+1)^2z^4 \;... [12],\;\;\; (\frac{3q^2}{2}+3q+1)^2z^2 \;... [13]$

ให้ $\frac{q^2}{2}+2q+1 = (qr-1)^2$ นั่นคือ $q = \frac{4(r+1)}{2r^2-1}$ แทนค่าลงใน [13] จะได้ $\frac{24(r+1)^2}{(2r^2-1)^2} + \frac{12(r+1)}{2r^2-1} + 1$
ทำการรวมพจน์เหล่านี้ แล้วกำจัดตัวหารกำลังสองทิ้งไปจะได้ $4r^4+24r^3+44r^2+36r+13$ หรือ $(2r^2+6r+2)^2$
เมื่อให้ $r= -\frac34$ จะได้ $q = \frac{4(r+1)}{2r^2-1} = 8$ และ $p = q+1 = 9$ นำค่า $p$ ที่ได้นี้ไปแทนลงใน $(C)$ เราจะได้
$31^2z^4 \;... [14],\;\;\; 41^2z^4 \;... [15],\;\;\; 7^4z^4 \;... [16],\;\;\; 11^2z^2 \;... [17]$ ....... $(D)$

ให้ $z = 11^3v^4$ แทนใน $(D)$ จะกลายเป็น
$31^2 11^{12}v^{16} \;... [18],\;\;\; 41^2 11^{12}v^{16} \;... [19],\;\;\; 7^4 11^{12}v^{16} \;... [20],\;\;\; 11^8v^8 \;... [21]$ ....... $(E)$

ตอนนี้ผลต่างร่วมกลายเป็น $xy^2 = 360\cdot 11^{12}v^{16} \;... [22]$ ซึ่งเราทำให้เป็นกำลังสามได้โดยให้ $v = 5^2\cdot3w^3$
สมการใน $(E)$ และ $[22]$ จะเปลี่ยนเป็น
$31^2 11^{12} 5^{32} 3^{16} w^{48} \;... [23],\;\;\; 41^2 11^{12} 5^{32} 3^{16} w^{48} \;... [24],\;\;\; 7^4 11^{12} 5^{32} 3^{16} w^{48} \;... [25],$
$11^8 5^{16} 3^{8} w^{24} \;... [26],\;\;\; 11^{12} 5^{33} 3^{18} 2^3 w^{48} \;... [27]$ ....... $(F)$

เพื่อให้ $[23]$ เป็นกำลังเจ็ด เราให้ $w = 31^{2} 11^{5} 5^{4} 3^{2} u^{7}$ ซึ่งจะเปลี่ยน $(F)$ ให้เป็น
$31^{98} 11^{252} 5^{224} 3^{112} u^{336} \;... [28],\;\;\; 41^2 31^{96} 11^{252} 5^{224} 3^{112} u^{336} \;... [29],\;\;\; 7^4 31^{96} 11^{252} 5^{224} 3^{112} u^{336} \;... [30],$
$31^{48} 11^{128} 5^{112} 3^{56} u^{168} \;... [31],\;\;\; 31^{96} 11^{252} 5^{224} 3^{114} 2^{3} u^{336} \;... [32]$ ....... $(G)$

เพื่อให้ $[29]$ เป็นกำลังห้า เราให้ $u = 41^{3} 31^{4} 11^{3} 5^{1} 3^{3} t^{5}$ ซึ่งจะเปลี่ยน $(G)$ ให้เป็น
$(41^{144} 31^{206} 11^{180} 5^{80} 3^{160} t^{240})^7,\;\;\; (41^{202} 31^{288} 11^{252} 5^{112} 3^{224} t^{336})^5,\;\;\; (7^{1} 41^{252} 31^{360} 11^{315} 5^{140} 3^{280} t^{420})^4,$
$(41^{63} 31^{90} 11^{79} 5^{35} 3^{70} t^{105})^8,\;\;\; (41^{336} 31^{480} 11^{420} 5^{187} 3^{374} t^{560})^3$

ผลลัพธ์ล่าสุดแสดงว่าเราได้ค้นพบตัวเลขที่เป็นไปตามเงื่อนไข $8$ ใน $9$ ข้อของโจทย์แล้ว เหลือแค่เรื่องค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นเงื่อนไขสุดท้าย

เนื่องจาก $x = \frac{p^2-1}{2p},\; p = 9,\; y = pz^2$ ค่าต่างๆ ใน $(a)$ จึงเป็น $1321z^4,\; 1681z^4,\; 2041z^4$
แต่ $z = 11^3v^4$ ค่าเหล่านี้จึงกลายเป็น
$\;\;\; 1321 \cdot 11^{12} v^{16},\;\;\; 1681 \cdot 11^{12} v^{16},\;\;\; 2041 \cdot 11^{12} v^{16}$ ....... $(H)$
เมื่อ $v = 5^2\cdot3w^3$ จะได้เป็น
$\;\;\; 1321 \cdot 11^{12} 5^{32} 3^{16} w^{48},\;\;\; 1681 \cdot 11^{12} 5^{32} 3^{16} w^{48},\;\;\; 2041 \cdot 11^{12} 5^{32} 3^{16} w^{48}$
และเมื่อแทน $w = 31^{2} 11^{5} 5^{4} 3^{2} u^{7}$ ก็จะได้
$\;\;\; 1321 \cdot 31^{96} 11^{252} 5^{224} 3^{112} u^{336},\;\;\; 1681 \cdot 31^{96} 11^{252} 5^{224} 3^{112} u^{336},\;\;\; 2041 \cdot 31^{96} 11^{252} 5^{224} 3^{112} u^{336}$

สุดท้ายเราแทน $u = 41^{3} 31^{4} 11^{3} 5^{1} 3^{3} t^{5}$ ก็จะได้ชุดคำตอบที่ต้องการ คือ
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; 1321 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; 1681 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2041 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$

ชุดตัวเลขนี้จะง่ายที่สุดเมื่อให้ $t = 1$ ... นั่นคือเราหาชุดคำตอบจำนวนเต็มได้มากมายไม่รู้จบ โดยการแทนค่า t ตามที่ต้องการ
.

[Switchgear]

เฮ้อ...กว่าจะเฉลยจนจบ Problem 2 ได้ เล่นเอาเหนื่อยแทบขาดใจ
.

[Switchgear]

เห็นเฉลย Problem 2 กันชัดๆ แล้ว คงยอมรับในเหตุผลตามความเห็นที่ 22 ที่ผมบอกว่ามันพิมพ์ยากมาก
ผมถึงไม่ได้เข้ามาเฉลยให้อ่านซักที ... เนื่องจากต้องรวบรวมสมาธิดีๆ ก่อน

และคนที่ติดตามอ่านเองก็คงไม่ง่ายนักเหมือนกัน ที่จะอดทนอ่านหรือเช็คตัวเลขตามจนจบได้

.

[Switchgear]

เริ่มเห็นด้วยกับผมหรือยังครับว่า กระทู้นี้รวบรวม "ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก" สมกับชื่อกระทู้นี้จริงๆ
.

[TOP]

มีบางส่วนยังพิมพ์ผิดอยู่นะครับ เช่น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ให้จำนวนเต็ม 3 ตัวที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต คือ $(x^2-x+1)y^2,\; (x^2+1)y^2,\; (x^2-x+1)y^2 \;\;$ ....... $(a)$

ส่วนที่อื่นยังมีพิมพ์ผิดอีกหรือไม่ ไม่แน่ใจ

มีข้อสงสัยเกี่ยวกับการพิมพ์ตอบนะครับ ไม่รู้ว่าคุณ Switchgear ได้เคย preview โดยใช้ปุ่ม "แสดงผลข้อความแบบรวดเร็ว" บ้างไหม เพราะเคยบอกมาว่าใช้อินเตอร์เน็ตความเร็วไม่สูงนัก การ preview โดยใช้ปุ่ม "แสดงผลข้อความแบบรวดเร็ว" จะช่วยให้ดูข้อความรวมถึงสมการต่างๆ ได้ทันทีที่ตัวบราวเซอร์โดยไม่จำเป็นต้องส่งข้อความดังกล่าว มาประมวลผลที่เว็บบอร์ด ทำให้ประหยัดเวลาไปได้มาก เมื่อแก้ไขข้อความเสร็จเรียบร้อยแล้วจึงค่อยกดปุ่ม "ส่งข้อความ"

อ้อ ก่อนส่งข้อความที่เขียนนานกว่า 1 ชั่วโมง ให้ทำสำเนาเก็บไว้ก่อนก็ดีครับ เพราะบางที session ที่ login อาจหมดอายุต้องเข้าสู่ระบบใหม่อีกครั้ง แต่ถ้าลืมจริงๆแล้วต้องเข้าสู่ระบบใหม่ ก็ให้เข้าสู่ระบบต่อไปได้เลยครับ รู้สึกว่าเว็บบอร์ดจะยังรับข้อความอันนั้นมาทำต่อ อย่ากด Back ถอยกลับไปนะครับ ไม่งั้นข้อความที่พิมพ์มาตั้งนานจะสูญหายหมด

[Switchgear]

ขอบคุณมากครับสำหรับคำแนะนำของคุณ Top ผมเข้าไปแก้ส่วนที่แจ้งแล้ว ... ส่วนอื่นอาจมีหลงอยู่บ้าง
เพราะว่าเห็นแล้วตาลายไปหมด ไม่รู้ว่าคนแรกที่คิดเขาอดทนทดเลขยุ่งยากขนาดนี้ได้ยังไง ทั้งที่ยุคนั้น
ไม่มีคอมพิวเตอร์ช่วยงานเลย

[Switchgear]

หลังจากฟังวิธีพิจารณาคดียุบพรรคไทยรักไทยแล้ว ... ผมรู้สึกว่าโจทย์ในกระทู้นี้ง่ายไปเลย
เพราะแค่ตั้งใจฟังคำแถลงตั้งแต่ต้นจนจบ ก็เล่นเอามึนมากแล้ว

แต่ผมชอบเหตุผลประกอบคำแถลงหักล้างทั้งหลายมากเลย ฟังแล้วเชื่อได้ว่าเป็นความคิดที่
เรียบเรียงออกมาจากมันสมองที่ชาญฉลาด และเป็นเหตุเป็นผลระดับอัจฉริยะจริงๆ

ขอแสดงความนับถือตุลาการทุกท่านด้วยใจจริงไว้ ณ ที่นี้