โจทย์ระบบสมการ 3 ตัวแปร (คนหัวโบราณ)

[wee]

หนังสือเลขเล่มนี้ ใช้เรียนกันในโรงเรียนระดับมัธยมปลายประมาณปี พศ.2505
แต่แทบไม่อยากจะเชื่อเลยว่ามันเป็นหนังสือที่ใช้กันในโรงเรียนทั่วไป
เนื่องจากเมื่อผมเปิดอ่านในหนังสือโดยเฉพาะเรื่องการแก้สมการผู้แต่งเขียนได้ละเอียดมากมีการแก้สมการหลากหลายรูปแบบที่ไม่เคยเห็นมาก่อ น แถมยังมีสูตรลัดให้ใช้อีก พร้อมทั้งบอกที่มาของสูตรลัดด้วยว่ามาได้อย่างไร
(หนังสือแบบเรียนปัจจุบันอ่านแล้วสู้ไม่ได้เลย ในแนวทางของการพิสูจน์ที่มา)
วันนี้กระผมจึงขอนำเสนอโจทย์ระบบสมการ 3 ตัวแปร ให้ท่านผู้อ่านทั้งหลายได้ลองขบคิดกันก่อน
ว่าท่านทั้งหลายได้ใช้แนวทางในการแก้ปัญหาอย่างไร
NOTE! โจทย์นั้นไม่ยาก แต่การแก้ปัญหาให้ดูสวยงามเนี่ยสิยากกว่า (ในมุมมองของผมเองนะครับ)
ตัวกระผมขอใช้นามแฝงว่า คนหัวโบราณ

[-Math-Sci-]

http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1290145698

จาก $x+y = z$ แทนลงในสมการที่ (2)

$3x+2y = z $
$3x+2y = x+y$
$ 2x+y = 0$ __*

สมการที่(1) ยกกำลังสองจะได้

$x^2+2xy+y^2 = z^2$ แทนลงใน (3)

$4x^2-3y^2+8z^2 = 0$

$4x^2-3y^2+8(x^2+2xy+y^2) = 0$

$12x^2+16xy+5y^2 = 0$

$(6x+5y)(2x+y) = 0 $

$ x = \frac{-y}{2} , \frac{-5y}{6}$

แทน x ลงใน __*

จาก $2x+y = 0$
Case I
$2(\frac{-y}{2}) +y = 0$
$ -y +y = 0 $ เป็นจริงเสมอ

Case II
$2(\frac{-5y}{6}) + y = 0$

$ y -\frac{5y}{3} = 0$

$ y = 0 $

จาก (1)$ x+y = z $
และจาก $ 2x+y = 0$
นำสมการลบกันจะได้ว่า $ x = -z$

ทำไปทำมา ได้ (0,0,0) งงครับ รบกวนเฉลยที

[กิตติ]

$x+y=z$........(1)
$3x+2y-z=0$..........(2)
$4x^2-3y^2+8z^2=0$..........(3)
จาก(1)และ(2) $x+y=3x+2y \rightarrow y=-2x$
นำ$y$ ไปแทนใน(1) $x=-z \rightarrow y=2z$
$4z^2-12z^2+8z=0$
$z^2-z=0\rightarrow z(z-1)=0$
$z=0,1$
$z=0,y=0,x=0$
$z=1,y=2,x=-1$
นี่คงเป็นวิธีทำแบบธรรมดา

$(x+y)^2=z^2$
$(3x+2y)^2=z^2$
$(x+y)^2=(3x+2y)^2$
$(3x+2y)^2-(x+y)^2=(4x+3y)(2x+y)=0$
$y=-2x,y=-\frac{4x}{3} $
$y=-\frac{4x}{3},x=-3z \rightarrow y=4z$
$36z^2-48z^2+8z^2= -4z^2=0 \rightarrow z=0$

หรือว่าใช้กฎการคูณไขว้หาอัตราส่วนของ$x:y:z$

อยากเห็นวิธีแก้โจทย์สวยๆบ้างครับ

[-Math-Sci-]

#3 ขอบคุณ อากิตติ ครับ เก็ทแล้ว

[wee]

วิธีที่ทำมาก็ใช้ได้ครับ
ลองดูอีกนิดว่าถ้าเปลี่ยนเงื่อนไขของโจทย์จะมีวิธีที่ดูดีกว่านี้อีกไหม
หลังจากข้อนี้แล้วเดี๋ยวผมจะเฉลยวิธีสวย ๆ ให้ครับ
เพราะถ้าบอกวิธีลัดไปแล้วข้อแรกเราจะมองไม่เห็นประโยชน์ของสูตรลัดนี้
เทพหลายคนในเว็บนี้อาจเคยเห็นสูตรลัดที่เรียกว่ากฎของการคูณไขว้ซึ่งที่ผมอ่านเจอมีทั้งในระบบสมการ 2 ตัวแปร
และในระบบสมการ 3 ตัวแปร ที่มั่นใจมากคือในระบบสมการ 2 ตัวแปรนั้น มีการเรียนการสอนกันที่อินเดียในระดับ ม.ต้น
(ติวเตอร์ของบ้านเราก็มี)
ส่วนสูตรลัดที่ผมอ่านเป็นการพิจารณาปัญหาที่ว่าถ้ามีระบบสมการ 3 ตัวแปร Ax+By+Cz=0 และ Dx+Ey+Fz=0 อยู่ในระบบที่เราพิจารณา
เราจะสามารถหาความสัมพันธ์ของ x ,y และ z เพื่อนำไปช่วยในการแก้ปัญหาได้อย่างไร
๖วิธีช่างดูเรียบง่าย แต่ให้ผมคิดเองก็คงทำไม่ได้ คนคิดช่างว่างและเก่งเหลือเกิน)
ยังไงลองทำดูก่อนนะครับ

[กิตติ]

จาก $Ax+By+Cz=0$ และ $Dx+Ey+Fz=0$ เขาแปลงเป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ

$\frac{A}{C}x+\frac{B}{C}y+z=0 $........(1)

$\frac{D}{F}x+\frac{E}{F}y +z=0$........(2)

(1)-(2) $(\frac{A}{C}-\frac{D}{F})x+(\frac{B}{C}-\frac{E}{F})y =0$

$(\frac{A}{C}-\frac{D}{F})x=(\frac{E}{F}-\frac{B}{C})y$

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{(\frac{E}{F}-\frac{B}{C})}{(\frac{A}{C}-\frac{D}{F})} $

ลองแปลเป็นตัวหนังสือได้ว่า $\frac{E}{F}-\frac{B}{C}$ คือ การเอาอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$y$มาหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ $z$ ในสมการที่สองลบด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$y$มาต่อสัมประสิทธิ์ของ $z$ จากสมการที่หนึ่ง และ $\frac{A}{C}-\frac{D}{F}$ คือ การเอาอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$x$มาหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ $z$ ในสมการที่หนึ่งลบด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$x$มาต่อสัมประสิทธิ์ของ $z$ จากสมการที่สอง

เช่นเดียวกันเราอยากขจัดตัวแปรไหนก็ใช้วิธีนี้.....ไม่รู้ว่าจะเดาทางถูกไหมครับ....