หาDomain,Range

[Mathopolis]

จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์ $r=\left\{\,(x,y)|y=\frac{\sqrt{x+1} }{x} \right\} $
หาโดเมนไม่มีปัญหาครับ แต่ติดตรงเรนจ์ครับผม รบกวนด้วยครับ

ปล. รบกวนขอวิธีที่ถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์เป๊ะนะครับ

[ครูนะ]

สมมุติ y อยู่ในจำนวนจริง (ถ้าไม่เขียนในวงวิชาการถือว่าอยู่ในจำนวนจริง)

พิจารณาทางขวา เห็นเครื่องหมายรูทต้องรู้ทันทีว่าด้านขวามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

เพราะฉะนั้น y อยู่ในจำนวนจริงบวก

มองธรรมดาครับ ไม่ต้องทำอะไร

[Ne[S]zA]

ถ้า $x=-\dfrac{1}{2}$ อ่ะครับ $y=-\sqrt{2}$
ผมว่าน่าจะคิดงี้นะครับ
จาก $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}$
$x^2y^2=x+1$ จะได้ $x^2=\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{1}{y^2}$ นั่นคือ $x^2-\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{1}{y^2}=0$
โดยสูตรสมการกำลังสองจะได้ว่า $x=\dfrac{\dfrac{1}{y^2}\pm \sqrt{\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{4}{y^2}}}{2}$
เนื่องจากเป็นการดำเนินการบนจำนวนจริงดังนั้น $\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{4}{y^2}\geqslant 0$ และ $y\not = 0$
เพราะฉะนั้นจะได้ $y\in \mathbb{R} -\{0\}$
จะได้ว่า Domain คือ $[-1,0)\cup (0,\infty )$ และ Range คือ $ \mathbb{R} -\{0\}$

[Mathopolis]

ขอบคุณครับ แต่ว่ามันผิดน่ะครับ สำหรับของคุณครูนะ ผิดเพราะว่า ค่า x ข้างล่างทำให้ค่า y เป็นลบได้นะครับ
ส่วนของคุณ ne[s]za ผิดเพราะว่า แทน x=-1 จะได้ y=0 ครับ

คำตอบที่ถูกต้องคือ เรนจ์ เป็นจำนวนจริงใดๆครับ
แต่มีปัญหาตรงแสดงไม่ได้ว่า ทำไมถึงเป็นจำนวนจริงใดๆครับ

ปล. คำตอบถูกต้องแน่นอน เพราะว่าใช้คอมเช็คคำตอบแล้วครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เพราะว่า $x \geqslant -1$ แต่ $x\not= 0$และ $xy = \sqrt{x+1} $
ถ้า x=-1 จะได้ y= 0
ถ้า $x=\frac{-1}{2}$ จะได้ y เป็นลบ
ถ้า x>0 จะได้ y เป็นบวก

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ถ้า $x=-\dfrac{1}{2}$ อ่ะครับ $y=-\sqrt{2}$
ผมว่าน่าจะคิดงี้นะครับ
จาก $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}$
$x^2y^2=x+1$ จะได้ $x^2=\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{1}{y^2}$ นั่นคือ $x^2-\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{1}{y^2}=0$
โดยสูตรสมการกำลังสองจะได้ว่า $x=\dfrac{\dfrac{1}{y^2}\pm \sqrt{\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{4}{y^2}}}{2}$
เนื่องจากเป็นการดำเนินการบนจำนวนจริงดังนั้น $\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{4}{y^2}\geqslant 0$ และ $y\not = 0$
เพราะฉะนั้นจะได้ $y\in \mathbb{R} -\{0\}$
จะได้ว่า Domain คือ $[-1,0)\cup (0,\infty )$ และ Range คือ $ \mathbb{R} -\{0\}$

เข้ามาบอกว่าที่คุณ Ne[S]zA บอกว่า Range คือ $ \mathbb{R} -\{0\}$ เพราะคุณ Ne[S]zA ไปยอมรับซะก่อนแล้วว่า y$\not= 0$ จึงนำ $y^2$ ไปหารตลอด ซึ่งไม่ได้คิดกรณีว่า $y =0$ เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดไว้หรือแสดงให้เห็นว่าส่วนเป็น $y$
อันที่จริงใช้ดู ดิสครีมิเนนต์ก็ได้ โดยดูว่า $1+4y^2\geqslant 0$ และต้องพิจารณาต่อว่ารากที่ได้ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ -1 ด้วย ซึ่งก็จะทำให้ y สามารถเป็นจำนวนจริงได้

[Ne[S]zA]

เหอะๆ นั่นสินะครับ ทำไมผมไม่ใส่สูตรเลยทีเดียว ยังเอา $y^2$ ไปหารอีก
ขอบคุณครับ คุณหยินหยาง

[Mathopolis]

แต่ตอนใส่สูตรมันก็ได้ส่วน เป็น y อยู่ดีนี่ครับ?

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathopolis

แต่ตอนใส่สูตรมันก็ได้ส่วน เป็น y อยู่ดีนี่ครับ?

คือเรามักถูกสอนว่าเวลาจะหาเรจน์ เราต้องจัดให้อยู่ในรูปของ $x=f(y)$ แล้วดูว่าค่า y มีค่าอะไรบ้างที่เป็นไปได้หรือไม่ โดยมักให้หลักว่าให้ดูว่าค่าไหนทำให้เกิดค่าวิกฤต โดยมักลืมไปว่าสมการที่เราจัดนั้นไม่ใช่สมการของโจทย์ดั้งเดิม เป็นการแปลงมา ดังนั้นอาจทำให้ค่าบางค่าไม่จริง หรืออาจมีบางค่าไม่ครบ เหมือนการแก้สมการเวลาเราแก้สมการเสร็จเราต้องนำค่าที่ได้ไปตรวจสอบว่าใช้ได้หรือไม่ เพราะระหว่างทางในการแก้สมการเรามีการเล่นแร่แปรธาตุไปต่างๆนานา เพื่อให้ง่ายต่อการแก้จึงอาจทำให้ค่าที่ได้บางค่าไม่ใช่คำตอบ ในกรณีนี้ก็เช่นกัน เราเล่นแร่แปรธาตุให้อยู่ในรูปสมการกำลังสอง ซึ่งถ้าจัดให้อยู่ในรูปสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c$ นั่นก็เป็นการยอมรับอยู่แล้วว่า $a\not= 0$ เพราะถ้า $a = 0$ ก็จะเป็นกำลังหนึ่งไป ดังนั้นโจทย์ข้อนี้จึงต้องพิจารณาอีกกรณีหนึ่งว่าถ้า $y = 0$ แล้วมีค่า $x$ ที่สอดคล้องกับโจทย์หรือไม่ ถ้ามีก็นำ 2 กรณีนี้มายูเนี่ยนกันก็จะได้คำตอบครับ หวังว่าคงจะเข้าใจนะครับ

[Siren-Of-Step]

$x^2y^2 - x - 1 = 0$

ใช้ discriminant

$1+4x^2 \geqslant 0$

$x^2 \geqslant \frac{-1}{4}$
$x = \mathbb{R} $