ปัญหาคณิตศาสตร์

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามที่001:จำนวนเด็ดของคุณครู ของคุณมานะ เอกจริยวงศ์


คุณครูกำหนดจำนวนสามหลักขึ้นมาจำนวนหนึ่ง แล้วให้สุดาหารด้วย 4 มานีหารด้วย 6 และ วีระหารด้วย 9 เพื่อหาเศษจากการหาร
สุดาตอบว่าได้เศษ 3 ขณะที่มานีได้เศษ 2 และวีระได้เศษ 1
ปรากฏว่า เมื่อตรวจสอบแล้ว มีเด็กคิดผิดอยู่คนหนึ่ง
อยากทราบว่า ใครคิดผิด และถ้าจำนวนที่ครูกำหนดขึ้นเป็นจำนวนที่เด็กสองคนซึ่งหาร ได้ถูกต้อง พบว่า ไม่มีจำนวนสามหลักใดน้อยกว่าอีกแล้ว อยากทราบว่า คุณครูกำหนดจำนวนใด มาให้
รหัส 157-006-2548-001

[gon]

สมมติให้ x แทนจำนวนเต็มดังกล่าว

x หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 แล้ว จะสามารถเขียนได้ว่า
x = 4p + 3 เมื่อ p เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
ในทำนองเดียวกัน x = 6q + 2 , x = 9r + 1

ตรวจสอบว่าอันใดไม่จริง : ลองจับคู่ 4p + 3 = 6q + 2 ฎ 6q - 4p = 1 จะพบว่าสมการนี้ไม่มีทางเป็นจริง เพราะ ด้านซ้ายมือของสมการ คือ 6q - 4p จะต้องมี 2 เป็นตัวประกอบเสมอ แต่ ด้านขวามือของสมการ คือ 1 ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ แสดงว่า ไม่ 4p + 3 ก็ 6q + 2 จะต้องมีอันใดอันหนึ่งไม่ถูกต้อง

ลองจับคู่ 6q + 2 = 9r + 1 ฎ 9r - 6q = 1 จะพบว่าสมการนี้ไม่มีทางเป็นจริง เพราะ ด้านซ้ายมือของสมการ คือ 9r - 6q จะต้องมี 3 เป็นตัวประกอบเสมอ แต่ ด้านขวามือของสมการ คือ 1 ไม่มี 3 เป็นตัวประกอบ แสดงว่า ไม่ 6q + 2 ก็ 9r + 1 จะต้องมีอันใดอันหนึ่งไม่ถูกต้อง

แต่ทั้ง 2 อันมี 6q + 2 อยู่ แสดงว่า 6q + 2 นั่นล่ะที่ไม่ถูก นั่นคือ x = 4p + 3 = 9r + 1 จากตรงนี้ทำต่อได้หลายวิธี วิธีทีง่าย ๆ คือ ให้หามาว่าจำนวนเต็มบวกใด ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 และ หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 1 (เป็นเลข 2 หลัก)

จากนั้นก็นำจำนวนดังกล่าว บวกทีละ 36 (ค.ร.น. ของ 4 กับ 9) ไปเรื่อย ๆ จนได้เลข 3 หลักที่มากที่สุด แต่ไม่เกิน 1000 ดังนั้นเลขดังกล่าวของครูคนนี้ คือ 9??

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามที่002:หาเหรียญปลอม จากคุณเก่ง วิบูลย์ธัญญ์

มีถุงใส่เหรียญ 5 ถุง ในแต่ละถุงมีเหรียญอยู่มากกว่าถุงละ 7 เหรียญ โดยมีเหรียญปลอม อยู่ 2 ถุง เหรียญแท้และเหรียญปลอมแตกต่างกันเฉพาะน้ำหนัก โดยเหรียญแท้และเหรียญปลอมหนักเหรียญละ 50 และ 49 กรัม ตามลำดับ ให้หาถุงใดบ้างบรรจุเหรียญปลอมโดยการใช้ตาชั่งเพียงครั้งเดียวและต้องชั่งเหรียญน้อยอันที่สุด

รหัส 157-006-2548-002

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามที่003:สอบเชาวน์ จากคุณ นาวาเอกสอาด สุนทโรวาท

ในการสอบเชาวน์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ณ โรงเรียนแห่งหนึ่ง มีข้อสอบ ชวนฉงนอยู่ 2 ข้อ ปัญหาทั้งสองข้อนั้นคือ "นครใดอยู่ไกลขึ้นไปทางเหนือกว่ากัน กรุงเทพฯหรือมนิลา" กับ "ดวงอาทิตย์จะตกทางด้านไหนของคลองปานามาล่าช้ากว่ากัน ทางด้านมหาสมุทรปาซิฟิก หรือ ทางด้านมหาสมุทรอัตลันติก
มีนักเรียนตอบได้ถูกทั้งสามข้อรวม 37 คน หนึ่งในสามของนักเรียนทั้งหมดตอบผิดในปัญหาแลตติจูด หนึ่งในสี่ตอบผิดในปัญหาดวงอาทิตย์ตก และหนึ่งในห้าตอบผิดทั้งสองปัญหา
อยากทราบว่ามีนักเรียนเข้าตอบปัญหาเชาวน์นี้กี่คน

รหัส 157-006-2548-003

[promath]

ผู้ที่สนใจที่จะให้ความรู้เรื่องเกี่ยวกับ แคลคูลัสเบื้องต้น ที่มีหัวข้อดังนี้
ฎ ลิมิตของฟังก์ชัน
ฎ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ฎ อัตราการเปลี่ยนแปลง
ฎ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ฎ ความชันของเส้นโค้ง
ฎ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร
ฎ อนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิท
ฎ อนุพันธ์อันดับสูง
ฎ การประยุกต์ของอนุพันธ์อย่างง่ายและอย่างยาก
ฎ ปริพันธ์
ฎ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
ฎ ปริพันธ์จำกัดเขต
ฎ พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
ฎ โอเปอเรชันตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์
สามารถโพสท์ข้อความมาในหัวข้อนี้ได้ครับ ให้หัวข้อเดียวก็ไม่เป็นไร แต่ถ้ามีมากหน่อย ก็จะดีครับ ขอขอบพระคุณล่วงหน้านะครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 157-006-2548-003 นี่ ผมว่าแปลกๆนะครับ

เพราะว่า มีคำถามอยู่ 2 อันแต่ลองดูข้อความนี่สิครับ "มีนักเรียนตอบได้ถูกทั้งสามข้อรวม 37 คน " ผมว่าคงเป็น ตอบถูกทั้งสองข้อมากกว่าครับ


คือ ให้ คนที่เข้าสอบทั้งหมด x คน
ใช้เซตเข้ามาช่วยนะครับ ให้
A = เซตของคนที่ตอบผิดข้อแรก
B = เซตของคนที่ตอบผิดข้อที่สอง

จากโจทย์ได้ว่า
n(A) = \( \displaystyle{ \frac{x}{3}} \)
n(B) = \( \displaystyle{ \frac{x}{4}} \)
n(AวB) = \( \displaystyle{ \frac{x}{5}} \)
n((AศB)') = 37
\ n(U) = \( \displaystyle{ \frac{x}{3}+ \frac{x}{4}- \frac{x}{5}+37} \)

ก็จะได้สมการว่า \( \displaystyle{ \frac{x}{3}+ \frac{x}{4}- \frac{x}{5}+37 = x} \)
ซึ่งแก้สมการได้ x = 60 ครับผม

ปล. คำถามที่เอามาจากไหนหรือครับ เห็นมีที่มาจากคนนั้นคนนี้ แล้วก็เอาไปทำอะไรหรอครับ เห็นมีรหัสด้วย อีกอย่าง จะตั้งคำถามไว้ 999 คำถามเลยหรือครับ เห็นตั้งรหัสซะ 001

[promath]

ปัญหาคณิตศาสตร์น่าคิด

คำถามข้อ004: เลขยกกำลัง1 จากpromath

โจทย์ต่อไปนี้มีคำตอบว่าอย่างไร ช่วยคิดหน่อยครับ
1) (2ึ3+ึ7)(2ึ3-ึ7)
2) ึ3x+4+ึ3x-5 = 9

ตอบคำถามของคุณ R-Tummykung de Kamar
บางคำถามนั้นผมเอามาจากสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทยครับ และที่มีชื่อคนอื่นเข้ามาด้วยเป็นการยกย่องผู้ที่ถามคำถามครับ จะได้รู้ว่าใครเป้นผู้ตั้งโจทย์หรือนำโจทย์มา ที่มีรหัสก็เพราะว่าเครื่องคอมพิวเตอร์ของผมมันมีระบบพิเศษที่ไม่ค่อยเหมือนชาวบ้านของเขาครับ และที่ตั้งไว้เป็น 001 เพราะอาจจะมีคำถามถึงข้อ 999 ก็เป็นได้ครับ อิอิ...

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 004
1.) ก็ ผลต่างกำลังสองธรรมดา
\ มันคือ (2ึ3)²-(ึ7)² = 12 - 7 = 5

2.) ข้อนี้น่าจะสมมติตัวแปรให้
a = ึ3x+4
b = ึ3x-5

\( \displaystyle{ \begin{array}{rcl} a+b&=&9\\a^2-b^2&=&9\\ \therefore a-b&=&1 \\แก้สมการ\ \ ได้\ \ a\ =\ 5\ \ และ\ \ b\ =\ 4 \end{array} } \)
แทนค่ากลับได้ x = 7

ปล. R-Tummykung de Lamar ครับ ไม่ใช่ R-Tummykung de Kamar

[gon]

ข้อ 2. งงกับคำถามครับ. โจทย์บอกว่าเหรียญมันอยู่ในถุง แล้วจะชั่งเหรียญได้ยังไง แกะออกมาจากถุงชั่งได้หรือครับ. อีกอย่างตาชั่งบอกมาไหมว่า เป็นระบบแบบใด แบบมีตัวเลข หรือ แบบถ่วงน้ำหนักสมดุล

[promath]

คำถามข้อที่005:หากจะจ่าย ต้องคิดแล้วคิดอีกจนเวียนหัว จากสสวท.

ร้านค้าแห่งหนึ่งมีลูกจ้าง 3 คน คือ แดง น้อย และจิต โดยแต่ละคนเสนอค่าจ้างทำงานชั่วโมงละ 100 110 120 บาท ตามลําดับ และมีงาน 3 อย่าง คือ a b และ c
จํานวนชั่วโมงที่แดงทํางาน a, b และ c คือ 7.5, 8 และ 4.5 ชั่วโมง ตามลําดับ
จํานวนชั่วโมงที่น้อยทํางาน a, b และ c คือ 6, 8.5 และ 5 ชั่วโมง ตามลําดับ และ
จํานวนชั่วโมงที่จิตทํางาน a, b และ c คือ 6.5, 7 และ 3.5 ชั่วโมง ตามลําดับ
อยากทราบว่านายจ้างควรใหลูกจ้างคนใดทํางานอย่างใดที่สามารถทํางานนั้นเสร็จ และจ่ายเงินน้อยที่สุด และถ้านายจ้างต้องการรับลูกจ้างเพื่อเข้าทํางานทั้งสามอย่างเพียงหนึ่งคน เขาควรรับลูกจ้างคนใดเข้าทํางานจึงจะจ่ายน้อยที่สุด
รหัส 157-006-2548-005

ปล.1 ขอโทษครับสำหรับคุณ R-Tummykung de Lamar ขออภัยอย่างยิ่งครับ เนื่องจากผมพิมพ์เร็วไปหน่อยแล้วผิด ผมก็ไม่ได้ตรวจทานหรือกลับมาแก้ไขอีกรอบ มันอาจจะทำให้คุณไม่ค่อยพอใจในตัวผมเท่าไรนัก แต่ผมขอโทษอย่างสูง คราวหลังผมจะปรับปรุงให้ดีขึ้นกว่านี้ครับ

ปล.2 หากมีผู้ตอบคำถามถูกแล้ว ผมจะเข้าไปเฉลยให้ครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ promath:
คำถามข้อที่005:หากจะจ่าย ต้องคิดแล้วคิดอีกจนเวียนหัว จากสสวท.
ปล.1 ขอโทษครับสำหรับคุณ R-Tummykung de Lamar ขออภัยอย่างยิ่งครับ เนื่องจากผมพิมพ์เร็วไปหน่อยแล้วผิด ผมก็ไม่ได้ตรวจทานหรือกลับมาแก้ไขอีกรอบ มันอาจจะทำให้คุณไม่ค่อยพอใจในตัวผมเท่าไรนัก แต่ผมขอโทษอย่างสูง คราวหลังผมจะปรับปรุงให้ดีขึ้นกว่านี้ครับ
[ 06 พฤษภาคม 2005 16:11: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ promath ]

แหม .. ผมก็ไม่ได้ขนาดนั้นซักหน่อย ความผิดพลาดเนี่ย มีบ้างก็เป็นเรื่องปกติครับ ไม่ต้องคิดมาก

[nongtum]

ข้อที่005 ในที่นี้จะสันนิษฐานว่างานหนึ่งงานทำได้คนเดียว หากใครคิดกรณีสามัคคีชุมนุม(หนึ่งงานหลายคน)ได้ ลอง post มานะครับ
เราจะคิดค่าใช้จ่ายทีจะเกิดขึ้นเมื่อแต่ละคนทำงานแต่ละอย่างเสร็จดังนี้
\[
\begin{array}{*{20}c}
{คนงาน} & {JobA} & {JobB} & {JobC} & {รวม} \\
{แดง} & {750} & {800} & {450} & {2000} \\
{น้อย} & {660} & {935} & {550} & {2145} \\
{จิต} & {780} & {840} & {420} & {2040} \\
\end{array}
\]
จากตาราง เราจึงสรุปได้ว่า ควรจะให้ น้อยทำงาน A แดงทำงาน B จิตทำงาน C และหากต้องจ้างคนเดียว ควรจ้างแดง

[Grimmyredrum]

ข้อ2
สมมตว่าเปนตาชั่งแบบเปงตัวเลข
เราทราบว่า เหรียญจริงหนักกว่าปลอม 1 กรัม

โจทย์บอกให้ชั่งเหรียญให้น้อยอันที่สุด
>>>แสดงว่าน่าจะหยิบเหรียญออกมาจากถุงเพื่อนำมาชั่งได้

เราจะเลือกเหรียญจำนวนซ้ำกันไม่ได้ เพราะ หากเลือกเหรียญจำนวนซ้ำกัน จะไม่สามารถแยกได้ว่าถุงไหนเป็นเหรียญปลอม เพราะ นน.จะขาดหายไปเป็นจำนวนเท่าๆกันด้วย

เช่น

ถุงแรกไม่หยิบ ถุงที่สองหยิบ1 ถุงที่สามหยิบ2 ถุงที่สี่หยิบ2 ถุงที่ห้าหยิบ3
หากนน. ขาดไป3กรัม ถุงที่มีเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง-สาม หรือ ถุงที่สอง-สี่ หรือถุงแรก-ห้า ซึ่งไม่สามารถสรุปได้ว่าเป็นถุงไหน?
หากนน ขาดไป 4 กรัม ก้อเป็นไปในทำนองเดียวกัน.

จะเห็นได้ว่าการหยิบแบบนี้จะชั่งได้ผลเพียง 2 กรณี(3กับ4กรัม) ซึ่งไม่ครอบคลุมกรณีทั้งหมด

เราจะต้องหากรณีที่แตกต่างกัน C_5,2 = 10 กรณีเพื่อที่จะแยกได้ว่าถุงใดบ้างที่เป็นเหรียญปลอม

ถุงแรก เราจะไม่หยิบเหรียญออกมา
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ครบ แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม ในกรณีที่ 4 ถุงที่เหลือนั้นมี เหรียญปลอมอยู่ 1 ถุง (กรณีอื่น แสดงว่าถุงนี้เป็นเหรียญจริง)
ซึ่งจะทราบได้จาก

ถุงที่สอง เราจะหยิบเหรียญออกมา 1 เหรียญ
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 1 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

ถุงที่สาม เราจะหยิบเหรียญออกมา 2 เหรียญ
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 2 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

ถุงที่สี่ เราจะหยิบเหรียญออกมา 4 เหรียญ
(หยิบ 3 เหรียญไม่ได้ เพราะ ถ้านน. ขาดไป3กรัม จะไม่สามารถบอกได้ว่า ถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง-สาม หรือ ถุงแรก-สี่)
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 4 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

ถุงที่ห้า เราจะหยิบออกมา 7 เหรียญ
(หยิบ 5 หรือ 6 เหรียญไม่ได้ในทำนองเดียวกัน)
>>>ถ้าชั่งแล้ว นน. ขาดไป 7 กรัม แสดงว่าถุงนี้เปงเหรียญปลอม

จากนั้นเอาจำนวนเหรียญที่ได้มาชั่งก้อจะทราบว่า ถุงใดเป็นถุงปลอม

• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 1 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่สอง(0+1 = 1)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 2 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่สาม(0+2 = 2)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 4 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่สี่(0+4 = 4)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 7 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงแรก + ถุงที่ห้า(0+7 = 7)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 3 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง + ถุงที่สาม(1+2 = 3)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 5 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง + ถุงที่สี่(1+4 = 5)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 8 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สอง + ถุงที่ห้า(1+7 = 8)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 6 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สาม + ถุงที่สี่(2+4 = 6)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 9 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สาม + ถุงที่ห้า(2+7 = 9)
• ถ้าชั่งแล้วนน.ขาดไป 11 แสดงว่าถุงที่เป็นเหรียญปลอมคือ ถุงที่สี่ + ถุงที่ห้า(4+7 = 11)

ซึ่งชั่งเหรียญทั้งหมด 0+1+2+4+7 = 14 เหรียญ(น้อยสุดยังอะ)
====================================
ถ้าเป็นตาชั่งแบบถ่วงดุล
. . .ถ้าให้ชั่งแค่ครั้งเดียว ตอนนี้ยังคิดไม่ออกคับ TT

[promath]

ดูเฉลยคำตอบที่ถูกต้องข้อ005 :D

เฉลยปัญหาข้อที่005:หากจะจ่าย ต้องคิดแล้วคิดอีกจนเวียนหัว จากสสวท.

จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ เราสามารถอธิบายข้อมูลชั่วโมงในการทำงานของแต่ละคนได้ดังนี้

งาน a b c

จำนวนเวลาทำงานของแดง 7.5 8 4.5

จำนวนเวลาทำงานของน้อย 6 8.5 5

จำนวนเวลาทำงานของจิต 6.5 7 3.5

จากนั้นหาคำตอบโดยคำนวนค่าใช้จ่ายกับชั่วโมงเวลา ดังนี้

งาน a b c รวม

รายได้ของแดง 750 800 450 2,000

รายได้ของน้อย 660 935 550 2,145

รายได้ของจิต 780 840 420 2,040

\ ควรจ้างน้อยทำงาน a เพราะค่าจ้างน้อยที่สุด
\ ควรจ้างแดงทำงาน b เพราะค่าจ้างน้อยที่สุด
\ ควรจ้างจิตทำงาน c เพราะค่าจ้างน้อยที่สุด
\ และควรจ้างแดงทำงานคนเดียว(ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง) เพราะจ่ายค่าจ้างน้อยที่สุด
ได้รับคำเฉลยแล้ว มีใครตอบถูกบ้างเอ่ย?

[promath]

คำถามที่006:เงินสิบสตางค์หายไปไหน จากคุณพิเชษฐ วิชัยดิษฐิ


นายพานิช และ น.ส.บัญชี ต่างก็เป็นพ่อค้าและแม่ค้าในตลาดแห่งหนึ่ง เขาและเธอต่างก็ขายมะม่วงด้วยกัน นายพานิช ขายมะม่วง 3 ผล ราคา 5 สตางค์ วันหนึ่งเขาขาย 60 ผล ได้เงิน 1 บาท น.ส.บัญชี ขายมะม่วง 2 ผล ราคา 5 สตางค์ วันหนึ่งเขาขาย 60 ผล ได้เงิน 1.50 บาทเพื่อเป็นการเห็นอกเห็นใจกัน นายพานิช จึงเอ่ยปากชวน น.ส.บัญชีมาร่วมค้าขายกัน โดยขายมะม่วงไปคราวละ 5 ผล ราคา 10 สตางค์ (เพราะว่าราคาของพานิช 3 ผล 5 สตางค์ ของบัญชี 2 ผล 5 สตางค์ เอามาร่วมกัน 5 ผล ราคา 10 สตางค์) วันหนึ่ง ๆ จะขายไป 120 ผล ปรากฏว่าเงินที่ขายได้เท่ากับ 2.40 บาท
สุดท้ายนี้ใคร่ไหว้วานท่านผู้อ่านช่วยพ่อแม่ค้าทั้งสองด้วยว่า เงิน 10 สตางค์ หายไปไหน
รหัส 157-006-2548-006