สสวท.รอบ2ปี254x

[The jumpers]

เเสดงวิธีทำ 5 คะเเนน
1) จงหาคำตอบ x ทั้งหมดของสมการ $\sin(\ln x)+\sin(\ln x^2)+\sin(\ln x^3)=0$
2) จงหาจำนวนคำตอบทั้งหมดของสมการ $x=100(\left|\,\sin(x-5)\right| +\frac{1}{20})$
3) ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ทำให้มี x เป็นคำตอบของสมการ $(\sin^{-1}x)^3+(\cos^{-1}x)^3=a$
เเล้วจงเเสดงว่า $\frac{\pi ^3}{32}\leqslant a\leqslant \frac{7\pi ^3}{8}$
4) สำหรับเเต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ $F_n=2^{2^n}+1$ จงเเสดงว่าถ้า $m>n$
เเล้ว $F_n$ หาร $F_m-2$ ลงตัว

[gon]

ใช่ปี 254x จริงหรือครับ

ถ้าจำไม่ผิดนี่เป็นข้อสอบสมัยผมสอบตอนอยู่ ม.4 เลย ที่ มช. หรือ สสวท. นี่ล่ะ น่าจะเป็นช่วงปี 2535-37

[M@gpie]

ข้อ 3. โจทย์ผิดล่ะมั้งครับต้องเป็น $(\arcsin x)^3+(\arccos x)^3 = a$

น่าจะเป็นข้อสอบรอบแรกนะครับ ไม่ใช่รอบสอง

[gon]

ใช่ครับ ต้องเป็นกำลังสาม กำลังจะทักท้วงพอดี

อันนี้ไม่ใช่รอบแรกครับ ไม่สองก็สาม รอบแรกจะเป็นตัวเลือกทั้งหมด สมัยที่ผมสอบครั้งแรกนั้นวิธีการคัดและข้อสอบยังไม่เหมือนสมัยนี้ เพราะดูเหมือนยังคลำๆทางอยู่

รอบแรกจะเป็นตัวเลือกทั้งหมดนะครับ

รอบที่สองจะเป็นแสดงวิธีทำทั้งหมด ประมาณ เ้ช้า 5-6 ข้อ บ่าย 5-6 ข้อ

รอบที่สามจะเป็นแสดงวิธีทำทั้งหมด ถ้าจำไม่ผิด มี 10 - 12 ข้อครับ 3 ชั่วโมงรวด หรือ แบ่งเป็นเช้าบ่ายลืมๆไปแล้วครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

2) จงหาจำนวนคำตอบทั้งหมดของสมการ $x=100(\left|\,\sin(x-5)\right| +\frac{1}{20})$

ข้อนี้คงต้องวาดกราฟหาคำตอบหรือเปล่าคับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ข้อนี้คงต้องวาดกราฟหาคำตอบหรือเปล่าคับ

อ้อ ดูคำถามนี้ ผมนึกแล้ว เป็นรอบที่สามครับ เคยเขียนเป็นบทความนานแล้ว แต่ปีที่เขียนในบทความชักไม่แน่ใจว่า 36 หรือ 37 อาจจะที่ผิดพลาดลองดูประกอบได้นะครับ

ชุดที่ 4 จำนวนคำตอบของสมการ

[kanakon]

ขอบคุณพี่ gon มากครับผมคงต้องไปทวนเรื่องนี้ใหม่เพราะยังมีปัญหาเรื่องการคำนวนนิดหน่อย

[M@gpie]

ระดับความยากผิดกับโจทย์สมัยนี้เยอะเลยนะครับ
ไม่สิต้องบอกว่าคนละแนวกันนะครับนี่

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

เเสดงวิธีทำ 5 คะเเนน
3) ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ทำให้มี x เป็นคำตอบของสมการ $(\sin^{-1}x)^3+(\cos^{-1}x)^3=a$
เเล้วจงเเสดงว่า $\frac{\pi ^3}{32}\leqslant a\leqslant \frac{7\pi ^3}{8}$

solution

สมมติให้ $m = \sin^{-1} x$ โดยสมบัติ $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
ดังนั้น $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - m$
จาก $a = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$
ดังนั้น $a = m^3 + (\frac{\pi}{2} - m)^3 = \frac{3\pi}{2}(m - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi ^3}{32} $
ชัดเจนว่า $a \ge \frac{\pi ^3}{32}$

แต่จาก $a = \frac{3\pi}{2}(m - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi ^3}{32}$
จะได้ว่า $m = \frac{\pi}{4} \pm \sqrt{\frac{2a}{3 \pi} - \frac{\pi ^2}{48}}$
แต่ $-\frac{\pi}{2} \le m \le \frac{\pi}{2}$
ดังนั้น $0 \le \frac{2a}{3 \pi} - \frac{\pi ^2}{48}\le \frac{9 \pi ^2}{16}$
นั่นคือ $\frac{\pi ^3}{32} \le a \le \frac{7 \pi ^3}{8}$
ตามต้องการ

[Brownian]

ข้อแรกครับ

1) จงหาคำตอบ x ทั้งหมดของสมการ $\sin(\ln x)+\sin(\ln x^2)+\sin(\ln x^3) = 0$

solution

ให้ $A = \ln x$ สมการดังกล่าวคือ $\sin A + \sin 2A + \sin 3A = 0$
$\rightarrow \sin 2A(2\cos A+1) = 0$
$\rightarrow A = \frac{k\pi}{2}, 2k\pi\pm\frac{2\pi}{3}$
นั่นคือ $x = e^{\frac{k\pi}{2}} , e^{2k\pi\pm\frac{2\pi}{3}}$ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม ครับ

[Brownian]

4) สำหรับเเต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ $F_n=2^{2^n}+1$ จงเเสดงว่าถ้า $m > n$
เเล้ว $F_n$ หาร $F_m-2$ ลงตัว

clarification

จาก $F_n=2^{2^n}+1$ จะได้ $F_m-2=2^{2^m}-1$ เมื่อ $m>n$ โดยไม่เสียนัย ให้ $m = n+k ,\exists k\in \mathbf{Z}^+$
จาก $2^{2^n}\equiv -1 (\bmod 2^{2^n}+1) \Rightarrow 2^{2^m}=2^{2^{n+k}}=(2^{2^n})^{2^k}\equiv (-1)^{2^k}=1 (\bmod 2^{2^n}+1)$
นั่นคือ $2^{2^m}-1\equiv 0 (\bmod 2^{2^n}+1) \Rightarrow F_n|F_m-2 , \forall m>n$

[bell18]

เป็นข้อสอบคัดโอลิมปิกของสสวท.รอบแรกปี2536ครับ เป็นปีที่ยากที่สุดเพราะว่าเป็นข้อสอบแสดงวิธีทำล้วนๆ16ข้อ
ลองดูจากหนังเฉลยข้อสอบของสสวท.ที่เขียนโดยรศ.ดำรง ทิพย์โยธา แต่ว่าเล่มนี้นานแล้วครับผมซื้อมาเมื่อ10ปีที่แล้วที่ศูนย์หนังสือจุฬาครับ

[James_waraniphit]

ผมงงหมดแล้วช่วยที!

[คusักคณิm]

1.x=0
เพราะsin(lnx2)+sin(lnx3)=0