สมการโคชีครับช่วยทีงงมากมาย

[อัจฉริยะข้ามจักรวาล]

อยากให้ท่านเทพๆทั้งหลาย ช่วยอธิบายเทคนิคการใช้สมการโคชี หย่อยสิครับ
อย่างเช่นกับโจทย์พวกนี้อะครับ
1. f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy -2552 , f(2552) = -2552 จงหา f(2)

2. f( (x-3)/(x+1) ) + f( (3+x)/(1-x) ) = x จงหา f(x)
[ ตอบ f(x) = 4x/(1-x^2) -1/2 ]

3. f(f(x)+y) = f(x+y) +f(0) และให้ c เป็นค่าคงตัว จงหา f(x)
[ ตอบ f(x) = x + c ]

4. [f(x)]^2=f(x+y)f(x-y) ให้ a และ b เป็นค่าคงตัว จงหา f(x)
[ ตอบ f(x) = e^(ax+b) + c ]

5. f(x) + f( 1/(1-x) ) = x จงหา f(x)
[ ตอบ ทุกๆ ค่าของ x โดยที่ x ไม่เท่ากับ 0,1 f(x)=1/2(1+x-1/x-1/(1-x) ]

ช่วยแสดงวิธีทำด้วยนะคร้าบ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[POSN_Psychoror]

อยากให้ท่านเทพๆทั้งหลาย ช่วยอธิบายเทคนิคการใช้สมการโคชี หย่อยสิครับ
อย่างเช่นกับโจทย์พวกนี้อะครับ
1. $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy -2552 , f(2552) = -2552$ จงหา $f(2)$

2. $\displaystyle{f( \frac{x-3}{x+1} ) + f( \frac{3+x}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x)$
[ ตอบ $\displaystyle{f(x) = \frac{4x}{1-x^2} -\frac{1}{2}} $]

3. $f(f(x)+y) = f(x+y) +f(0)$ และให้ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $f(x)$
[ ตอบ $f(x) = x + c$ ]

4. $[f(x)]^2=f(x+y)f(x-y)$ ให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว จงหา $f(x) $
[ ตอบ $f(x) = e^{ax+b} + c$ ]

5. $\displaystyle{f(x) + f( \frac{1}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x) $
[ ตอบ ทุกๆ ค่าของ $x$ โดยที่ $x$ ไม่เท่ากับ ${0,1}$ $f\displaystyle{(x)=\frac{1}{2}(1+\frac{x-1}{x}-\frac{1}{1-x} )]}$

ช่วยแสดงวิธีทำด้วยนะคร้าบ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ POSN_Psychoror

2. $\displaystyle{f( \frac{x-3}{x+1} ) + f( \frac{3+x}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x)$
[ ตอบ $\displaystyle{f(x) = \frac{4x}{1-x^2} -\frac{1}{2}} $]

5. $\displaystyle{f(x) + f( \frac{1}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x) $
[ ตอบ ทุกๆ ค่าของ $x$ โดยที่ $x$ ไม่เท่ากับ ${0,1}$ $f\displaystyle{(x)=\frac{1}{2}(1+\frac{x-1}{x}-\frac{1}{1-x} )]}$

ยังไม่ได้ลองคิดข้ออื่น แต่สองข้อนี้น่าจะทำได้ไม่ยาก และไม่ต้องใช้สมการโคชีด้วยครับ

ข้อสอง

ให้ $g(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$
จากนั้นลองหา $g(g(x)),g(g(g(x))),...$ ไปเรื่อยๆ
จะมองเห็นรูปแบบบางอย่างที่สามารถนำมาแก้ระบบสมการหาค่าของ $f(x)$ ได้

ส่วนข้อ 5 ก็ใช้วิธีเดียวกัน

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ยังไม่ได้ลองคิดข้ออื่น แต่สองข้อนี้น่าจะทำได้ไม่ยาก และไม่ต้องใช้สมการโคชีด้วยครับ

ข้อสอง

ให้ $g(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$
จากนั้นลองหา $g(g(x)),g(g(g(x))),...$ ไปเรื่อยๆ
จะมองเห็นรูปแบบบางอย่างที่สามารถนำมาแก้ระบบสมการหาค่าของ $f(x)$ ได้

ส่วนข้อ 5 ก็ใช้วิธีเดียวกัน

ข้อสองผมใช้วิธีแทน $x$ ด้วย $\displaystyle{ \frac{x-3}{x+1}}$ กับ $\displaystyle{ \frac{3+x}{1-x}}$
ส่วนข้อ 5 ก็คล้ายๆกันอ่ะครับ

[nooonuii]

เหมือนกันครับ แต่ผมเขียนในรูปฟังก์ชันเพราะมันเขียนได้ง่ายกว่า

[Biwww]

ทำไมผมคิดได้ $ f(x)=\frac{x(x^2+7}{2(1-x^2}$

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Biwww

ทำไมผมคิดได้ $ f(x)=\frac{x(x^2+7}{2(1-x^2}$

ข้อไหนล่ะครับ

[Biwww]

ข้อที่ 2 ครับ