ข้อสอบคัดเลือกตัวแทนแข่งคณิตโลก

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lunor

1.ถ้า $a+b+c=10$ และ $ab+bc+ca=30$ แล้ว $a^2+b^2+c^2$ มีค่าเท่าไร

$$(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2=10^2-2(30)=40$$

ข้อสอง

3.รูปสี่เหลี่ยม ABCD เปงรูปสี่เหลี่ยมคางหมู AD=8 หน่วย AC= 10 หน่วย BC= 12 หน่วย
$\overline{AD}// \overline{BC} $ และ สามเหลี่ยมABCมีพื้นที่ 30 ตารางหน่วย
ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด D ไปยังด้าน AC เป็นเท่าไร

4 หน่วย

4.โลหะผสมชนิดที่หนึ่งประกอบด้วยทองเหลืองและตะกั่วเท่านั้น โลหะผสมชนิดที่สองประกอบด้วยทองเหลือง 87% ตะกั่ว 6% และสังกะสี 7% เมื่อนำโลหะผสมชนิดที่หนึ่งกับชนิดที่สองจะเกิดโลหะผสม ซึ่งประกอบด้วยทองเหลือง 81%ตะกั่ว 13% และสังกะสี 6% โลหะผสมชนิดที่หนึ่งประกอบด้วยทองเหลืองและตะกั่วอย่างละกี่เปอร์เซนต์

ทองเหลือง 45% ตะกั่ว 55%

5.รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีพื้นที่ 800 ตารางหน่วย ถ้าอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านกว้างและด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้เท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านยาว และผลต่างระหว่างด้านยาวและสองเท่าของด้านกว้างแล้วความยาวของด้านกว้างและด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้เท่ากับเท่าไร

กว้าง=ยาว=$\sqrt{800}$ หน่วย

[หยินหยาง]

ข้อ3 ผมคิดได้

คำตอบ

4

[lunor]

ผมขอวิธีทำข้อ 3 4 5หน่อยได้ไหมครับ อยากรู้อะครับ

[putmusic]

ข้อ 3 นะครับ

เราให้ DE เป็นเส้นตั้งฉากกับ AC

เราลาก AF ให้ตั้งฉากกับ BC

จากที่ว่า สามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 30 ตารางหน่วย
เราจะได้ AF เท่ากับ 5

เพราะฉะนั้น สี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่ ((8+12)*5)/2 ตารางหน่วย
= 50 ตารางหน่วย
จะได้ว่า สามเหลี่ยม ADC มีพื้นที่ 50-30 = 20ตารางหน่วย
เพราะฉะนั้น DE มีค่าเท่ากับ (2/10)*20
= 4หน่วย

[lunor]

ช่วยเฉลยให้หน่อยนะครับ
8 ข้อแรกก่อนนะครับ

1. ถ้า $a+b+c=10$ และ $ab+bc+ca=30$ แล้ว $a^2+b^2+c^2$ มีค่าเท่าไร

2. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามากที่สุด ซึ่งแนบในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 10 หน่วย ยาว 11 หน่วย

3. รูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู AD=8 หน่วย AC= 10 หน่วย BC= 12 หน่วย
$\overline{AD}// \overline{BC} $ และ สามเหลี่ยมABCมีพื้นที่ 30 ตารางหน่วย
ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด D ไปยังด้าน AC เป็นเท่าไร

4. โลหะผสมชนิดที่หนึ่งประกอบด้วยทองเหลืองและตะกั่วเท่านั้น โลหะผสมชนิดที่สองประกอบด้วยทองเหลือง 87% ตะกั่ว 6% และสังกะสี 7% เมื่อนำโลหะผสมชนิดที่หนึ่งกับชนิดที่สองจะเกิดโลหะผสม ซึ่งประกอบด้วยทองเหลือง 81% ตะกั่ว 13% และสังกะสี 6% โลหะผสมชนิดที่หนึ่งประกอบด้วยทองเหลืองและตะกั่วอย่างละกี่เปอร์เซนต์

5. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีพื้นที่ 800 ตารางหน่วย ถ้าอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านกว้างและด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้เท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านยาว และผลต่างระหว่างด้านยาวและสองเท่าของด้านกว้างแล้ว ความยาวของด้านกว้างและด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้เท่ากับเท่าไร

6. สำหรับจำนวนนับ n ทุกตัว $n^2-n+11$ เป็นจำนวนเฉพาะ เป็นจริงหรือเท็จ ถ้าเป็นจริงจงให้เหตุผล แต่ถ้าเท็จยกตัวอย่างประกอบ 1 ตัว

7. จำนวนเต็มที่น้อยกว่า 200 มีอยู่กี่จำนวนประกอบเท่ากับ 3 (ข้อนี้ทำได้ดีใจ)

8. ถังน้ำทรงกระบอกฝาเปิด มีรัศมีฐานเท่่ากับ 3a และมีส่วนสูงเป็นสองเท่าของรัศมี อยากทราบว่าแผ่นเหล็กที่ใช้ทำถังน้ำมีพื้นที่เท่าไร

[lunor]

ชุดนี้เป็นของปี 48 นะครับ 12ข้อก่อนนะครับ
1.วันที่ 9 กรกฎาคม 2548 เป็นวันเสาร์ อีก 2^{2549} จะเป็นวันอะไร
2.ถ้า CAT เป็นจำนวนเต็มสามหลัก และ $2\times CAT = 1ATC$ และ CAT คือจำนวนใด
3.ถ้าตัวแทนนักเรียนปีที่ผ่านการคัดเลือก 8 คน ที่มีอายุของนักเรียนเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 10 ปีขึ้นไป มีผลคูณของอายุเท่ากับ 204,490,000 แล้ว ผลรวมของอายุนักเรียนทั้ง 8 คนเป็นเท่าไร
4.$3763647^2-3763641\times 3763653$ มีค่าเป็นเท่าไร
5.ผลขั้นสุดท้ายของ $\frac{3^{26} + 3^{23} - 56}{3^{23} -2} $ เท่ากับเื้ท่าไร
6.ถ้า $a:b = c:d , ac = m$ และ $bd = n$
จงเขียน $\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2}$ในรูปของ $m,n$
7.ผลบวกของ $1-3+5-7+9-11+...+1001$ เท่ากับเท่าไร
8.จาก 1 ถึง 1000 มีจำนวนเฉพาะกี่คู่ที่บวกกันได้ 999
9.กำหนด $A\star B = AB(B+\frac{1}{4})$
$A\ast B = \frac{1}{A^2B^2}$
จงหาค่าของ $(0.5\star 07.5)\ast 3$
10.กำหนดให้ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า m หาร 777 และ910 แล้วเหลือเศษ n
แล้ว m-nมีค่าเท่าไร
11.จำนวนเต็มบวก 2 จำนวนรวมกันค่าเท่ากับ 11 ถ้าเอาสองจำนวนั้นบวกกันแล้วยกกำลังสามจะมีค่ามากกว่าแต่ละ
จำนวนยกกำลังสามรวมกันอยู่792จงหาเลขสองจำนวนนั้น
12.จุด A และ B เป็นเป็นจุดอยู่บนสมการพาราโบลา $y=2x^2+4x-2$
จุดกำเนิดเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง AB จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง AB

[lunor]

ข้อ 5 เศษ -56 นะครับ

[nongtum]

#5
6. ตัวอย่างค้าน $n=12$ จะได้ $11|n^2-n+11$
7. จำนวนที่มีตัวประกอบสามตัวคือจำนวนในรูป $p^2$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งมีทั้งหมด 6 ตัว คือ $2^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ 11^2,\ 13^2$
8. พื้นที่ผิว = $\pi (3a)^2+2\pi (3a)6a=45a^2\pi$ ตารางหน่วย

ปล. ขออภัยในความผิดพลาดจริงๆครับ กะจะรวมโจทย์อีกสามข้อไปอยู่ที่หัวกระทู้ แต่เผลอกำหนดกระทู้ปลายทางผิด ขออภัยจริงๆครับ

[lunor]

ช่วยตรวจให้หน่อยนะครับ ปี 48ครับ
1. จาก $2^{2549}$ตัวท้ายได้ 2 พอหารด้วย 7 จะเหลือเศษ 5
ดังนั้นได้วันพุธ
2.874
4.ให้ $x=3763647$ ได้สมการ $x^2 - (x+6)(x-6)$
ดังนั้นได้36
5.ให้ $x= 3^{23}$ ได้สมการ $\frac{3^3x+x-56}{x-2}$
ดังนั้นได้ 28

7.$1+(-3+5)+(-7+9)+...+1001$
ได้ $1+\underbrace{2+2+2..+2}_{250ตัว}$

[หยินหยาง]

คำตอบ ชุด ปี48
ข้อ 1. วันพุธ
ข้อ 2. 874
ข้อ 3. 88
ข้อ 4. 36
ข้อ 5. 28
ข้อ 6.$\frac{m}{n}$
ข้อ 7. 501
ข้อ 8. 1 คู่
ข้อ 9. $\frac{64}{81}$ ถ้าโจทย์คือ $(0.5\star 0.75)\ast 3$ ไม่ใช่ $ (0.5\star 07.5)\ast 3$
ข้อ 10. 2
ข้อ 11. 8 กับ 3
ข้อ 12. $2\sqrt{17} $

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

ขอวิธีทำละเอียดของข้อนี้หน่อยครับ : ถ้า CAT เป็นจำนวนเต็มสามหลัก และ 2×CAT=1ATC และ CAT คือจำนวนใด
ขอบคุณล่วงหน้าคร้าบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ!!

[kanakon]

CAT = 874 วิธีผมยาวไปหน่อยนะครับ

พิจาราณาจากสมการจะได้
2T-C=0 หรือ 2T-C =10 ก่อนแล้วลองแทนค่าดูในสมการ จากนั้นจะพบว่า T เป็น 4 แล้วแก้ออกมาก็จะได้คับ

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^

ขอวิธีทำละเอียดของข้อนี้หน่อยครับ : ถ้า เป็นจำนวนเต็มสามหลัก และ 2×CAT=1ATC และ CAT คือจำนวนใด
ขอบคุณล่วงหน้าคร้าบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ!!

วิธีของผมก็ไม่รู้ว่าจะยาวรึเปล่านะคับ ลองดู
จาก CAT เราจะได้ค่าของมันคือ
100C+10A+T
และ 2×CAT=1ATC จะได้
2(100C+10A+T)=1000+100A+10T+C
แ้ก้สมการนี้ออกมาได้
199C-1000=8(10A+T)
เราจะสังเกตเห็นว่า 8|(199C-1000) นั่นคือ C=8
เมื่อได้ C=8 อะไรๆก็ง่ายแล้วคับ