โจทย์เด็กเทพ

[The jumpers]

The sequence {x_n}_{n≥ 1} is defined by
x _{1} = 2, x_{n + 1} = \frac {2 + x_{n}}{1 - 2x_{n}}\;\; (n \in \mathbb{N}).
Prove that
a) x_n\not= 0 for all n∈\mathbb{N} ,
b) {x_n}_{n≥ 1}is not periodic.

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

The sequence ${x_n},{n≥ 1}$ is defined by
$x _{1} = 2, x_{n + 1} = \frac {2 + x_{n}}{1 - 2x_{n}}\;\; (n \in \mathbb{N})$.
Prove that
a) $x_n\not= 0$ for all $n∈\mathbb{N}$ ,
b) ${x_n},{n≥ 1}$is not periodic.

Proof:
a) สมมติว่ามี $n$ ที่ทำให้ $x_n = 0$ และให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $x_n = 0$
สังเกตว่า $x_{n-1} = -2$ $x_1 = 2$ , $x_{n-2} = \frac{4}{3}$ $x_2 = -\frac{4}{3}$
จะพิสูจน์ว่า $x_{n-k} = -x_k$ โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
สังเกต $x_{n + 1} = \frac {2 + x_{n}}{1 - 2x_{n}}$
จัดการคูณ จัดรูป ย้ายข้าง แล้วจะได้ว่า
$x_{n}=\frac{x_{n+1}-2}{1+2x_{n+1}}$__________________________(1)
ขั้่นฐาน เมื่อ $k=1$ จาก $x_{n-1} = -2$ $x_1 = 2$ เป็นจริงโดยชัดเจน
ขั้นอุปนัย ถ้า เมื่อ $k=i$ เป็นจริงแล้ว เมื่อ $k=i+1$ จะเป็นจริงด้วย
จาก (1) แทน $n=x-(i+1)$ ได้ว่า
$x_{n-(i+1)}=\frac{x_{n-i}-2}{1+2x_{n-i}}$
แต่จาก $x_{n-i} = -x_i$
$x_{n-(i+1)}=\frac{-x_{i}-2}{1-2x_{i}}$
$=-\frac{x_{i}+2}{1-2x_{i}}$
$=-x_{i+1}$ ซึ่งเป็นจริง
ได้แล้วว่า $x_{n-k} = -x_k$
ถ้า $n$ เป็นคู่
ให้ $n=2m$ , $k=m+1$ ได้ว่า
$x_{m-1} = -x_{m+1}$
$\frac{x_{m}-2}{1+2x_{m}}\ = -\frac {2 + x_{m}}{1 - 2x_{m}}$
จัดการย้ายข้าง ตัด รวมพจน์ต่างๆได้ว่า
$x_{m}=0$ แต่ว่าจากตอนแรกสุดเรากำหนดว่า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $x_n = 0$ และ $m=$ $\frac{n}{2}$ $< n$ เกิดข้อขัดแย้งขึ้น
ถ้า $n$ เป็นคี่
ให้ $n=2m+1$ , $k=m+1$
$x_{m} = -x_{m+1}$
ให้ $n=2m+1$ , $k=m+2$
$x_{m-1} = -x_{m+2}$
$\frac{x_{m}-2}{1+2x_{m}}\ = -\frac {2 + x_{m+1}}{1 - 2x_{m+1}}$
$\frac{x_{m}-2}{1+2x_{m}}\ = -\frac {2 + x_{m}}{1 - 2x_{m}}$
สังเกตว่าเป็นสมการเดียวกันกับตอนที่ n เป็นคู่
$x_{m}=0$ แต่ว่าจากตอนแรกสุดเรากำหนดว่า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $x_n = 0$ และ $m=$ $\frac{n-1}{2}$ $ < n$ เกิดข้อขัดแย้งขึ้น

ดังนั้น $x_n\not= 0$ ทุก $n∈\mathbb{N}$

b)สมมติว่า ${x_n},{n≥ 1}$ เป็น periodic
ดังนั้นมี $k$ ที่ทำให้ $x_{k}=x_{0}=2$
จาก $x_{n}=\frac{x_{n+1}-2}{1+2x_{n+1}}$
ดังนั้น $x_{k-1}=\frac{x_{k}-2}{1+2x_{k}}$
$x_{k-1}=0$
แต่จากข้อ a) เกิดข้อขัดแย้งขึ้น

ดังนั้น ${x_n},{n≥ 1}$ ไม่เป็น periodic