ข้อสอบคัดตัว Olympiad สสวท. 2545

[gon]

ข้อที่ 2 ตอนที่ 2 ทำไมถึงคิดว่าได้ 90 องศาล่ะครับ. โอเคถ้าดูจากรูปมันก็ควรจะเป็นอย่างนั้นไม่เห็นจะต้องคิดอะไรมากเลย ทีนี้ปัญหามันมีอยู่ว่า ลองดูรูปนะครับ. คำถามที่จะถามก็คือ จุด U อยู่ในแนวแนวเดียวกับจุด O หรือเปล่า ตามรูปดูเหมือนว่าจะใช่ แต่ในกรณีทั่ว ๆ มันก็ไม่ควรจะใช่ ก็เลยลองวาดรูปดูจริง ๆ นะครับ. สมมติว่าจุด U อยู่แนวเดียวกันกับจุด O จริง ๆ แต่เพื่อให้ได้เงื่อนไขว่า XU' = XU และ XV' = XV
สมมติว่าลำดับในการวาดรูป เป็นอย่างนี้นะครับ
1.วาดวงกลมรัศมีใด ๆ , mark จุด O และ U ไว้ในแนวเดียวกัน สมมติว่าอยู่ในแนวระดับ
2.ลาก XV ขึ้น เฉียง ๆ ขึ้นไปหน่อยก็ได้และวัดความยาว XV
3. ลาก XV' โดยให้ผ่านจุด U โดยให้ยาวเท่ากับข้อที่วัดในข้อ 2
4. วัดระยะ V'U นำไปใช้เพื่อ Mark จุด U'
5.ลาก V'U'

แล้วลองวัดดูว่ามุม XZU' ได้เท่าไร ผมลองทำ 2 รอบแล้วดูยังไงก็ไม่ 90 องศา แต่เดี๋ยวว่าง ๆ จะลองอีกทีครับ.

ข้อที่ 1. ยิ่งมีปัญหาครับ. รูปมันขัด แล้วก็ไม่รู้โจทย์อยากให้เส้นมันเอียงไปทางไหนกันแน่ ถ้าจะเป็นให้ได้อย่างรูป มันต้องดัดแปลงอะไรบางอย่าง

[warut]

ตอนที่ 2

ข้อ 2. ผมเชื่อว่าคำตอบคือ 90ฐ แต่อยากให้คนที่ทำได้ช่วยบอกวิธีคิดให้หน่อยนะครับ

ข้อ 5. คำตอบไม่สวยเลยแต่ผมก็คิดได้เท่ากับคุณ gon ข้อนี้มีจุดน่าสนใจอยู่หน่อยนึง
คือถ้าไม่มีรูปมาให้คำตอบอันเดียวกันนี้จะยังไม่ถือว่าถูกต้องสมบูรณ์

ข้อ 7. ผมคิดได้ 2545 เพราะ
f(2545) - (2546) f(2²⁵⁴⁵ - 1) = (-1) - (2546)(-1) = 2545

ข้อ 8. ผมอยากเห็นเฉลยข้อนี้มาก ผมคิดว่าคำตอบของคุณ gon คงจะผิดเพราะ
x = y = z = 0 ก็เป็นคำตอบหนึ่งแต่ x + y + z = 0

ข้อ 9. ขอบคุณคุณ X-Cube ที่ช่วยบอกให้รู้ว่าโจทย์ผิด

ข้อ 16. วิธีทำของคุณ si009 นี่สุดยอดจริงๆ

ข้อ 21. ตอบ b = d
ให้ a/b + c/d = n
จะได้ว่า bc/d = nb - a ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น d | bc แต่เพราะว่า (c, d) = 1 ดังนั้น d | b นั่นคือ d ฃ b
ทำนองเดียวกันเนื่องจาก ad/b = nd - c ดังนั้น b | ad แต่เพราะว่า (a, b) = 1 ดังนั้น b | d นั่นคือ b ฃ d
สรุปได้ว่า b = d

[gon]

คุณ warut หายหน้าไปนานพอควรเลยนะครับ. ทำไมคุณ warut จึงเชื่อว่าข้อ 2 ตอนที่ 2 ตอบ 90 องศาล่ะครับ. ว่าแต่ผมก็ยังไม่ได้ลองคิดอีกทีเหมือนกัน อยากเห็นวิธีทำข้อ 5 ของคุณ warut มากเลยครับ. ทีแรกผมทำแบบเรขาคณิตแบบยุคลิต แต่ทำไม่ออก ผมก็เลยย้อนกลับไปสู่วิธีส่วนตัวของผมเหมือนทุกครั้ง คือใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ คือ ตั้งแกน x, y จากนั้นก็ตั้งสมการ 3 สมการ 3 ตัวแปร ที่เหลือก็เป็นหน้าที่การแก้สมการ ซึ่งผมมั่นใจอยู่แล้วว่ามีความสามารถในการแก้สมการได้ แต่วิธีที่มัน Classic กว่านี้ ผมอยากได้จริง ๆ แล้วที่ว่าถ้าไม่วาดรูปมาให้มันจะออกนอกรอบหรือยังไงครับ.

ข้อ 7. อ้อ. ใช่ครับ ผมเบลอเอง อ่านโจทย์ไม่รอบคอบ คือ ผมไปหา f(2546) แทนที่จะแทน 2546 ตรง ๆ ซะอีก ขอบคุณที่ช่วยบอกครับ. เดี๋ยวผมจะขึ้นไปแก้ด้วย

ข้อ 8. ใช่ครับใช่ ผมคิดเลขผิดอีกแล้ว คือผมมองว่ามันเป็นอย่างนี้ครับ. ถ้าในกรณีที่เป็นไปได้แสดงว่า
1 + p^x = 1 + p^y = 1 + p^z
แล้วย้ายข้างแยกตัวประกอบ แสดงว่า 1 + p^x = 2 เท่านั้น
\ p^x = 1 --> x = 0
ดังนั้น x = y = z = 0 --> x + y+ z = 0
เดี๋ยวผมจะขึ้นไปแก้ด้วย

ข้อ 21. นี่ได้เปิดหูเปิดตาแล้วครับ. Great. !

[ToT]

เอ่อ ... ข้อสองผมเองก็มั่วไป 90 เหมือนกันครับ คือ ... ถ้าเราวาดรูปใหม่ ( เนื่องจากรูปนี้ไม่ใช่รูปที่ unique ) ขึ้นจากเงื่อนไขที่โจทย์ และรูปกำหนดจะได้หรือเปล่าครับ
เงื่อนไข
- จากโจทย์
> XU = XU'
> XV = XV'
> XY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
> O เป็นจุดศูนย์กลาง

- จากรูป
> V ต้องอยู่บนเส้นรอบวง


แล้วผมก็วาดรูปใหม่ตามเงื่อนไขนี้ โดยกำหนดให้ U' และ V เป็นจุดเดียวกันซึ่งอยู่บนเส้นรอบวง ก็จะได้รูปตามนี้



ซึ่งถ้าพิจารณาจากรูป จะได้ XZ เป็นเส้นที่ลากจากยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ไปแบ่งครึ่งฐาน ( รัศมีเท่ากัน ) ก็จะได้ XZU' = 90


ประมาณนี้ใช้ได้ป่าวครับ ???

=================

เอ่อ ... ข้อ 3. มีเพื่อนไปถามอาจารย์มาน่ะครับ รู้สึกจะใช้วิธี rotation ( มันคืออะไรหว่า ??? " ) พวกพี่ๆคิดกันแบบนี้ป่าวคับ


*****************************************************************
เปลี่ยนรูปใหม่แล้วนะครับ ขอโทษด้วย คือเมื่อวานเบลอมาก อาจารย์ให้แปลหนังสือนอกเวลา
******************************************************************

[TOP]

ข้อ 2 พิจารณาแบบน้อง ToT เพื่อหาคำตอบแบบคร่าวๆก็ได้ครับ แต่ยังต้องตรวจสอบคำตอบที่ได้ ว่าจริงในกรณีอื่นด้วยหรือเปล่า สำหรับวิธีตรวจคำตอบแบบง่ายๆ วิธีหนึ่งคือ เราลองพลิกรูปให้มันมาอยู่ในครึ่งวงกลมดูครับ

สมมติให้
XU = XU' = a
UV' = U'V = b
XO = r

จะได้ว่า XV' cos(ะV'XY) = (a + b) a/2r
และ XU' cos(ะVXY) = a (a + b)/2r
ค่าทั้งสองเท่ากัน แสดงว่า ะXZU' = 90ฐ

[gon]

Top . แก้เร็วจริง ๆ จะบอกว่าผิดซะหน่อย.ก็ได้ข้อสรุปในระดับหนึ่งละนะ. อืม rotation ? rotation (การหมุน) น่าสนใจเดี๋ยวพี่จะลองไปคิดดูเหมือนกัน Thanks. !

[TOP]

ข้อ 5 ใช้วิธี rotation นี่แหละ Classic สุดแล้ว อธิบายง่ายๆก็คือ จากรูปข้างล่าง เราลองหมุน DDBA ทวนเข็มนาฬิกา รอบจุด A จนกระทั่งด้าน BA ไปทับกับ AC ได้เป็น DD'CA

จะได้ว่า ะDAD' = 60ฐ จึงได้ DD' = 13 เราจึงสามารถหาค่า cos(ะADC) ได้ จากนั้นใช้กฏของโคไซน์ หาค่า AC ออกมา

[TOP]

ข้อ 1 รูปที่มีความเป็นไปได้ เส้นตรง AD จะต้องอยู่ต่ำกว่าจุด E และอยู่สูงกว่าจุด F หลังจากแก้ไขรูปดังกล่าวแล้ว เหลือแค่พิสูจน์ว่า DXAC คล้ายกับ DYBD ก็จะได้คำตอบออกมาครับ

[alpha]

ข้อ 16 ตอน2 ผมคิดได้ 3 นะ ลองคิดดูผมพิสูจน์ว่า a=b ได้
ลองอ่านดูนะ
f(x)=cx^4+dx^3+ex^2+fx+g
f(a)=f(b): ca^4+da^3+ea^2+fa+g=cb^4+db^3+eb^2+fb+g
ย้ายไปข้างซ้ายให้หมด
(ca^4-cb^4)+(da^3-db^3)+(ea^2-eb^2)+(fa-fb)=0 แล้ว g หักกันหมดไป
ดึงตัวร่วม
c(a^4-b^4)+d(a^3-b^3)+e(a^2-b^2)+f(a-b)=0
เพราะว่า a^4-b^4,a^3-b^3,a^2-b^2,a-b มีตัวประกอบเป็น a-b ทุกตัวจึงดึงตัวร่วม a-b ดังนี้
(a-b)[ก้อนอะไรสักอย่างยุ่งๆขอไม่พิมพ์]=0
ดังนั้น a-b=0 หรือก้อนนั้น =0
a=b
ทำให้ c-a=c-b
ค่าสัมบูรณ์ c-a = ค่าสัมบูรณ์ c-b =3 (โจทย์บอกว่า ค่าสัมบูรณ์ c-a=3)
แล้วข้อ 12,13 ตอน 2 ควรตอบในรูปทั่วไปนะครับไม่ใช่รูปมาตรฐาน

ระวังตรงนี้ให้ดีครับ (a - b) Q(x) = 0
ดังนั้น a - b = 0 หรือ Q(x) = 0
มาถึงตรงนี้จะสรุปว่า a - b = 0 อย่างเดียวไม่ได้ (ถ้าจะทำแบบนี้ ต้องเขียนแยกให้ครบทุกกรณี) ไม่เช่นนั้นเราจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า
สำหรับพหุนาม f(x) ใดๆ หาก f(a) = f(b) แล้วจะได้ว่า a = b เสมอ ซึ่งมันไม่จริง นอกจากนั้นสำหรับปัญหาข้อนี้ a กับ b ไม่ควรหมายถึงค่าเดียวกัน เพราะมันจะง่ายเกินไป

[Pich]

ขอแสดงความยินดีกับท่านสมาชิกอาวุโสอันดับ 3 (ToT) ที่ติด โอลิมปิก คอมพิวเตอร์ค่าย 1 สสวท. ครับ

[ToT]

แหะๆๆ ขอบคุงมากคับ ว่าแต่เชาว์คนที่ได้เลขโอ ใช่ chao คนเดียวกับใน board ป่าว

[hikaru]

ยินดีด้วยนะคุณ TOT ขอให้รอบต่อไปติดเข้าไปอีกเรื่อยๆนะ
Congratulation

[Pich]

พี่เชาว์เขาใช้ชื่อ dexchao_mwitt11 ใน webboard นี้ครับ

[gon]

พี่ว่าน้อง TOT มีแววไปถึงดวงดาวอยู่แล้วครับ. ถ้าไม่สะเพร่าหรือว่าตื่นเต้น จนแพ้ภัยตัวเองเสียก่อน ว่าแต่ดูผลแล้วก็เห็นชัดเลยล่ะครับ. ว่าการกระจายการศึกษาเรายอดเยี่ยมแค่ไหน. !!! คนที่ไม่ได้คงไม่บอกคะแนน ที่จริงน่าจะรู้กันทุกคนนะว่าทำไปได้กันเท่าไร ไม่รู้เอาเกณฑ์ยังไงมาวัด