โจทย์ สอวน.

[nithi_rung]

เป็นข้อสอบเก่า ปี2544 วิชาทฤษฎีจำนวนครับ ถามว่า

ถ้าสมการ f(x)=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก มีคำตอบ x ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกเพียงคำตอบเดียวแล้ว จงพิสูจน์ว่า 36 หาร x ลงตัว

[warut]

นี่โจทย์ม.ปลายเหรอครับ น่าจะเกินหลักสูตรนะเนี่ย

เราสามารถเขียน x ให้อยู่ในรูป 2^a3^bm ได้โดยที่
a, b, m เป็นจำนวนเต็มและ a, b ณ 0, gcd(m, 6) = 1

ถ้า a = 0 จะได้ f(x) = f(2x)
ถ้า a = 1 จะได้ f(x) = f(x/2)
ดังนั้นเราให้ a ณ 2
ถ้า b = 0 จะได้ f(x) = f(3x/2)
ถ้า b = 1 จะได้ f(x) = f(2x/3)
ดังนั้น b ณ 2

สรุปว่า 2²3² = 36 ต้องหาร x ลงตัว
แต่จริงๆแล้วนี่เป็นเพียง necessary condition เท่านั้น
ส่วน sufficient condition คืออะไรไม่มีใครรู้ อาจจะไม่มีเงื่อนไขใดที่เพียงพอเลยก็ได้
นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เชื่อกันว่าไม่มี x อย่างที่โจทย์ต้องการอยู่จริง
เค้าเชื่อว่าถ้า f(x) = n แล้ว เราจะสามารถหา y น x ที่ทำให้ f(y) = n ได้เสมอ (Carmichael's conjecture)
นอกจากนี้ Klee ก็ได้พิสูจน์ไว้ตั้งแต่ปี 1947 แล้วว่า a ณ 42 และ b ณ 47
(ไม่ใช่แค่ a ณ 2 และ b ณ 2 อย่างที่แสดงข้างบน)
ส่วน Schlafly & Wagon ก็ได้พิสูจน์ไว้ในปี 1994 ว่า x > 10^10000000

ผมขอเพิ่มโจทย์ให้ข้อนึงนะครับ
ให้หาจำนวนคู่ n ณ 2 ที่น้อยที่สุดที่สมการ f(x) = n ไม่มีคำตอบ