composite function

[PURE MATH]

$$1. ให้ f,g : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} ซึ่งนิยามโดย f(m,n)=(mn,m^2) และ g(m,n)=(m+1,n+1) จงหา g\circ f และ f\circ g$$
$$2. ให้ f:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} ซึ่งนิยามโดย f(m,n)=m+n และ g:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} ซึ่งนิยามโดย g(m) = (m,m) จงหา g\circ f และ f\circ g$$
$$3. ให้ f:\mathbf{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R} ^2 ซึ่งนิยามโดย f(x,y)=(xy,x^3) จงหา f\circ f$$
$$4. ให้ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ซึ่งนิยามโดย f(x)=2-5x จงพิสูจน์ว่า f\circ f^-1 = f^-1 \circ f = i_\mathbb{R} $$

ช่วยหน่อยครับ ยังเรียนไม่ค่อยรู้เรื่องเท่าไร
ผมจะสอบอาทิตย์หน้าาแล้ววววว

[Lekkoksung]

1 Let $(m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Then
$(f \circ g)(m,n)=f(g(m,n))=f(m+1,n+1)=((m+1)(n+1),(m+1)^{2})$.

ในส่วนของ $g \circ f$ ลองทำดูครับ

2,3 ก็ลองทำดูครับ

4. ก่อนอื่นต้องทราบก่อนว่า $i_{\mathbb{R}}$ คืออะไร
Let $x \in \mathbb{R}$.
Since $f(x)=2-5x$, $f^{-1}(x)=\frac{1}{5}(2-x)$. Then
$(f \circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=f(\frac{1}{5}(2-x))=2-5(\frac{1}{5}(2-x))=x=i_{\mathbb{R}}(x)$.
Thus $f \circ f^{-1} = i_{\mathbb{R}}$.

ในส่วนของ $f^{-1} \circ f = i_{\mathbb{R}}$ ลองดูเองครับ

[PURE MATH]

ขอบคุณมากครับ ช่วยได้เยอะเลย เดวข้อไหนลองทำแล้ว ติดจะมาถามนะครับ