มาราธอน ม.ต้น

[คนอยากเก่ง]

ได้1เช่นกันครับจัดรูปได้

$-2011(3+a+b+c)+3(2010)+2[\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c} ]$

a+b+c=0

ab+bc+ac=-1

abc=1

$=-3+2[\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c} ]$

$=-3+2[\dfrac{ab+bc+ac+2(a+b+c)+3}{abc+ab+bc+ac+a+b+c+1} ]$(กระจายครับ)

$=-3+4$
=1

[Sky Rock!!!]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

ได้1เช่นกันครับจัดรูปได้

$-2011(3+a+b+c)+3(2010)+2[\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c} ]$

a+b+c=0

ab+bc+ac=-1

abc=1

$=-3+2[\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c} ]$

$=-3+2[\dfrac{ab+bc+ac+2(a+b+c)+3}{abc+ab+bc+ac+a+b+c+1} ]$(กระจายครับ)

$=-3+4$
=1

คิดวิธีเดียวกันแต่ผมแทนค่าพลาด=='

[Influenza_Mathematics]

กำหนด $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับสมการ
$$abc - d = 1$$
$$bcd - a = 2$$
$$cda -b = 3$$
$$dab - c = -6$$

จงพิสูจน์ว่า $a+b+c+d \not= 0$

hint

ลองสมมุติว่า $a+b+c+d= 0$

[Influenza_Mathematics]

เงียบบบบบบบ ...

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

กำหนด $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับสมการ
$$abc - d = 1...(1)$$
$$bcd - a = 2...(2)$$
$$cda -b = 3...(3)$$
$$dab - c = -6...(4)$$

จงพิสูจน์ว่า $a+b+c+d \not= 0$

ทำเเบบมั่วๆนะครับ อย่าได้ถือสา

My_Soln

สมมติให้ $a+b+c+d=0$
$(1)+(2)+(3)+(4)$ $$\Rightarrow a+b+c+d=abc+bcd+cda+abd=0$$
พิจารณา $$abc+bcd=-(cda+abd)$$
$$bc(a+d)=-(b+c)ad\Rightarrow bc=ad$$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ $ab=cd$ $,$ $ac$ $=bd$ $,$ $bc=da$
$$\Rightarrow \left|\,a\right| =\left|\,b\right| =\left|\,c\right| =\left|\,d\right| =k$$
โดยไม่เสียนัย สมมุติให้ $-k=a=b<c=d=k$
เเทนค่ากลับลงใน $(1)$ $abc=1+d\Rightarrow k^3=1+k$
เเละ ใน $(2)$ $bcd=2+a\Rightarrow -k^3=2-k$ จากทั้ง 2 สมการทำให้ได้ว่า เกิดข้อขัดเเย้ง
$\therefore a+b+c+d\not=0$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ทำเเบบมั่วๆนะครับ อย่าได้ถือสา

My_Soln

สมมติให้ $a+b+c+d=0$
$(1)+(2)+(3)+(4)$ $$\Rightarrow a+b+c+d=abc+bcd+cda+abd=0$$
พิจารณา $$abc+bcd=-(cda+abd)$$
$$bc(a+d)=-(b+c)ad\Rightarrow bc=ad$$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ $ab=cd$ $,$ $ac$ $=bd$ $,$ $bc=da$
$$\Rightarrow \left|\,a\right| =\left|\,b\right| =\left|\,c\right| =\left|\,d\right| =k$$
โดยไม่เสียนัย สมมุติให้ $-k=a=b<c=d=k$
เเทนค่ากลับลงใน $(1)$ $abc=1+d\Rightarrow k^3=1+k$
เเละ ใน $(2)$ $bcd=2+a\Rightarrow -k^3=2-k$ จากทั้ง 2 สมการทำให้ได้ว่า เกิดข้อขัดเเย้ง
$\therefore a+b+c+d\not=0$

อ่านแล้ว งง ๆ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

อ่านแล้ว งง ๆ

งงตรงไหนอ่ะครับ
โปรดชี้เเจง

[Influenza_Mathematics]

เอาเถอะครับ ผมซุยไปเอง 5555+

[Amankris]

#245
$a+d$ อาจจะเป็นศูนย์ได้ครับ (เอาไปตัดไม่ได้)

[จูกัดเหลียง]

แล้วถ้าผมแจงกรณี เป็นว่า ถ้า
$a+d=b+c=0$
จะได้ว่า ถ้า $a=b=-k,c=d=k$
แล้วมันก็เป็นแบบเดิมม อ่ะครับได้หรือเปล่า

[Amankris]

#250
ทำไม $a=b$ ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#250
ทำไม $a=b$ ครับ

555+ นั่นสิครับ
ถ้าอย่างนั้นก็ ชี้เเนะต่อไปด้วยครับ ว่าจะทำยังไงดี
หรือ จะให้เขียน Sol ใหม่หมดเลยก็ได้ครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

555+ นั่นสิครับ
ถ้าอย่างนั้นก็ ชี้เเนะต่อไปด้วยครับ ว่าจะทำยังไงดี
หรือ จะให้เขียน Sol ใหม่หมดเลยก็ได้ครับ

ตอนแรกก็โอเคอยู่ครับ ลองพิจารณาหลัง ๆ ดีครับ

[{([?])}]

กระทู้เงียบมานานเเล้ว ขอขุดหน่อยละกันครับ เอาโจทย์ง่ายๆลงก่อน

x) กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ถ้า $a\oplus b$ เป็นจำนวนจริง มีสมบัติต่อไปนี้
1) $a\oplus a=a+4$

2) $a\oplus b=b\oplus a$

3) $\frac{a\oplus (a+b)}{a\oplus b} = \frac{a+b}{b}$

จงหา $(8\oplus 5)\oplus 100$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([?])}

กระทู้เงียบมานานเเล้ว ขอขุดหน่อยละกันครับ เอาโจทย์ง่ายๆลงก่อน

x) กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ถ้า $a\oplus b$ เป็นจำนวนจริง มีสมบัติต่อไปนี้
1) $a\oplus a=a+4$

2) $a\oplus b=b\oplus a$

3) $\frac{a\oplus (a+b)}{a\oplus b} = \frac{a+b}{b}$

จงหา $(8\oplus 5)\oplus 100$

วิธีทำ

$(8\oplus 5)= (5\oplus 8)=\frac{5\oplus (5+3)}{5\oplus 3} = \frac{8}{3}$

$(5\oplus 3)= (3\oplus 5)=\frac{3\oplus (3+2)}{3\oplus 2} = \frac{5}{2}$

$(3\oplus 2)= (2\oplus 3)=\frac{2\oplus (2+1)}{2\oplus 1} = \frac{3}{1}$

$(2\oplus 1)= (1\oplus 2)=\frac{1\oplus (1+1)}{1\oplus 1} = \frac{2}{1}$

จะได้ $1\oplus 2=2\cdot (1+4)=10$
เเทนที่ได้กลับเรื่อยๆ จะได้

$2\oplus 3=30$
$3\oplus 5=75$
$5\oplus 8=200$

ดังนั้นเหลือ $200\oplus 100$

พิจารณาสมการที่สาม $\frac{a\oplus (a+b)}{a\oplus b} = \frac{a+b}{b}$
เเทน $b=a$ จะได้

$\frac{a\oplus (a+a)}{a\oplus a} = \frac{a+a}{a}=2$

ดังนั้น $a\oplus 2a=2(a+4)$ แล้ว $200\oplus 100=100\oplus 200=2(104)=208$